Enunciado

Uma partícula move-se de acordo com os dados a seguir. Encontre a posição da partícula.

a t = cos ⁡ t + s e n   t ,             s 0 = 0 ,             v 0 = 5

Passo 1

Bom galera, nesse exercício queremos encontrar a posição de uma partícula com base na função aceleração apresentada. Para isso, iremos utilizar o conceito de antiderivada, pois a aceleração de uma partícula é a derivada da sua velocidade, que por sua vez é a derivada da sua posição. Dessa forma, utilizando a antiderivada, podemos encontrar a posição da partícula.

Passo 2

Para encontrar a velocidade v ( t ) da partícula, iremos utilizar a antiderivada na função a ( t ) . Para isso, iremos utilizar as regras de derivação de funções trigonométricas.

a t = cos ⁡ t + s e n   t

v t = s e n   t - cos ⁡ t + C

Derivando v ( t ) , temos

v ' t = cos ⁡ t + s e n   t = a ( t )

Dessa forma, a função v ( t ) é a antiderivada de a ( t ) . Iremos agora utilizar o mesmo conceito para encontrar a posição

v t = s e n   t - cos ⁡ t + C

s t = - cos ⁡ t - s e n   t + C t + D

Derivando s ( t ) , temos

s ' t = s e n   t - cos ⁡ t + C = v ( t )

Dessa forma, s ( t ) é a antiderivada de v ( t ) .

Passo 3

Podemos agora encontrar o valor das constantes C e D utilizando as condições dadas. Aplicando a condição v 0 = 5 , temos

v t = s e n   t - cos ⁡ t + C

v 0 = s e n   0 - cos ⁡ 0 + C

C = 6

Dessa forma, C = 6 . Aplicando agora a condição s 0 = 0 , temos

s t = - cos ⁡ t - s e n   t + C t + D

s 0 = - cos ⁡ 0 - s e n   0 + 6 ( 0 ) + D

Dessa forma, D = 1 .

Resposta

s t = - cos ⁡ t - s e n   t + 6 t + 1

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