Enunciado

Use o roteiro desta seção para esboçar a curva.

y = e^(s e n x)

Passo 1

Bom galera, nesse exercício iremos esboçar a curva com base no seguinte roteiro

( A ) Domínio

( B ) Intersecções com os eixos

( C ) Simetria

( D ) Assíntotas

( E ) Intervalos de crescimento e decrescimento

( F ) Valores de máximo e mínimo locais

( G ) Concavidade e ponto de inflexão

( H ) Esboço da curva

Passo 2

( A ) Domínio

Nossa função não possui restrições em nenhum ponto, portanto seu domínio é o conjunto de números reais.

( B ) Intersecções com os eixos

No eixo y , a intersecção ocorre quando f (0) = 1 . Nossa função não intercepta o eixo x , devido a sua periodicidade e ao fato de ser uma exponencial

( C ) Simetria

Há simetria em relação ao eixo y no gráfico

( D ) Assíntotas

Não há assíntotas no gráfico.

Passo 3

( E ) Intervalos de crescimento e decrescimento

Derivando a função, temos

f^' (x) = e^(s e n x) cos x

Quando f^' (x) = 0 , temos

c o s x = 0

Isso nos dá x = (pi)/(2) e x = (3 pi)/(2) . Dessa forma, f ( x ) cresce em [ 0 , (pi)/(2) ] e seus múltiplos, pois f^' (x) > 0 e f ( x ) decresce em [ (pi)/(2) , (3 pi)/(2) ] e seus múltiplos, pois f^' (x) < 0 .

( F ) Valores de máximo e mínimo locais

O valor de máximo local ocorre quando x = (pi)/(2) e o valor de mínimo local ocorre em x = (3 pi)/(2)

( G ) Concavidade e ponto de inflexão

Tirando a segunda derivada da função, temos

f^(' ') (x) = e^(s e n x) cos^2 x - e^(s e n x) s e n x = e^(s e n x) ( cos^2 x - s e n x )

Para f^(' ') (x) > 0 , temos

cos^2 x - s e n x > 0

Concavidade para cima quando cos^2 x > s e n x

Concavidade para baixo quando cos^2 x < s e n x .

( H ) Esboço da curva

Podemos então esboçar graficamente a curva

Resposta

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