Enunciado

Determine se o campo vetorial é conservativo ou não. Se for conservativo, determine uma função f tal que F = ∇ f

F x , y , z = y 2 z 3 i + 2 x y z 3 j + 3 x y 2 z 2 k

Passo 1

Vamos comprovar isso pelo rotacional. Se r o t   F ≠ 0 , F não é conservativo, então vamos calcular o rotacional

r o t   F = i j k ∂ ∂ x ∂ ∂ y ∂ ∂ z y 2 z 3 2 x y z 3 3 x y 2 z 2

= ∂ ∂ y 3 x y 2 z 2 - ∂ ∂ z 2 x y z 3 i - ∂ ∂ x 3 x y 2 z 2 - ∂ ∂ z y 2 z 3 j + ∂ ∂ x 2 x y z 3 - ∂ ∂ y y 2 z 3 k

= 6 x y z 2 - 6 x y z 2 i - 3 y 2 z 2 - 3 y 2 z 2 j + 2 y z 3 - 2 y z 3 k

r o t   F = 0

Como o domínio de F é todo o espaço, e r o t   F = 0 então F é conservativo.

Passo 2

Para achar f , vamos integrar y 2 z 3 em relação a x

f = ∫ y 2 z 3 d x

f = x y 2 z 3 + g ( y , z )

E sabemos que

f y = 2 x y z 3

f z = 3 x y 2 z 2

Então derivando a função que encontramos em relação a y e igualando

∂ f ∂ y = 2 x y z 3 + ∂ g ∂ y

2 x y z 3 + ∂ g ∂ y = 2 x y z 3

∂ g ∂ y = 0

Como a variação em y é 0 , a função z só depende de z

g = g ( z )

E temos

f = x y 2 z 3 + g ( z )

Derivando em z

∂ f ∂ z = 3 x y 2 z 2 + ∂ g ∂ z

3 x y 2 z 2 + ∂ g ∂ z = 3 x y 2 z 2

∂ g ∂ z = 0

Como a variação em relação a z é 0 , g é constante

g = C

E a função é

f = x y 2 z 3 + C

Resposta

F é conservativo.

f = x y 2 z 3 + C

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