Enunciado

Encontre os pontos sobre a elipse 4 x 2 + y 2 = 4 que estão mais distantes do ponto ( 1,0 )

Passo 1

Fala, galera! Beleza? Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente encontrar os pontos sobre a elipse 4 x 2 + y 2 = 4 que estão mais distantes do ponto ( 1,0 ) .

Então, vamos começar desenhando a elipse pra entender o que ele tá dizendo:

Observe o ponto A ( 1 ,   0 ) está contido na elipse e nós queremos encontrar um ponto P ( x ,   y ) que esteja o mais longe possível do ponto A . Isso quer dizer que queremos que a distância de um ponto a outro seja máxima. Mas como vamos calcular a distância entre esses pontos?

Vamos usar a fórmula da distância entre dois pontos:

d = x - x 0 2 + y - y 0 2

Pra facilitar nas contas, a gente considera que seja uma distância ao quadrado, que vamos chamar de D , e teremos:

D = x - x 0 2 + y - y 0 2

Então, nós vamos maximizar essa função. Mas pra isso, vamos precisar colocar ela em função de uma única variável. Pra isso, vamos usar a equação da elipse, isolando y e substituindo na fórmula da distância. Depois, derivamos a equação para encontrar os pontos críticos e avaliamos o ponto de máximo.

Vamos lá!

Passo 2

Podemos ver que há dois pontos mais distantes do ponto A ( 1,0 ) . A distância entre um ponto P ( x , y ) qualquer para o ponto A é dada por:

d = x - 1 2 + y - 0 2

d = x - 1 2 + y 2

Mas, como estamos trabalhando o quadrado da distância, teremos:

D = x - 1 2 + y 2

D = x 2 - 2 x + 1 + y 2

Se pegarmos a equação da elipse e isolarmos y 2 ficamos com:

y 2 = 4 - 4 x 2

Então, substituindo em D , temos:

D = x 2 - 2 x + 1 + 4 - 4 x 2

D = - 3 x 2 - 2 x + 5

Passo 3

Agora vamos encontrar a distância máxima. Pra isso, precisamos encontrar os pontos críticos dessa função. Então, vamos começar derivando ela:

D ' = - 6 x - 2

Agora igualando a zero, vamos ter:

- 6 x - 2 = 0

- 6 x = 2

E isolando x :

x = - 2 6

x = - 1 3

Como D = - 3 x 2 - 2 x + 5 é uma parábola de concavidade voltada para baixo, e função apresenta apenas um ponto crítico, podemos dizer que esse ponto é um ponto de máximo. Então, vamos descobrir o valor de y no ponto, substituindo x = - 1 3 na equação da elipse:

y = ± 4 - 4 x 2

y = ± 4 - 4 ⋅ 1 9

y = ± 36 9 - 4 9

y = ± 32 9

Então, os pontos que estão mais distantes do ponto ( 1,0 ) são - 1 3 ,   32 9 e - 1 3 ,   - 32 9 . Ou seja:

- 1 3   ,   ± 32 9

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

Os pontos são

- 1 3   ,   ± 32 9

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