Enunciado

Uma lata cilíndrica sem o topo é feita para receber V   c m ³ de líquido. Encontre as dimensões que minimizarão o custo do metal para fazer a lata.

Passo 1

Eaee, belezinha??? Bom... o enunciado nos diz que uma lata cilíndrica sem o topo é feita para receber V   c m ³ de líquido.

Queremos calcular as dimensões que minimizarão o custo do metal para fazer a lata.

Para isso, temos que relacionar de alguma forma a área superficial S com o volume V do cilindro.

Depois, para minimizar, devemos igualar a zero a derivada da expressão que a gente encontrar para encontrarmos as dimensões.

Mas antes, vamos esboçar o desenho de um cilindro de raio r e altura h :

Passo 2

Bom... a área superficial total S é dada pela parte lateral do cilindro (que é um retângulo de área 2 π r * h ) e a parte de baixo (que é um círculo de área π r 2 ).

Assim, somando, temos:

S = π r 2 + 2 π r h

Dentro dessa lata precisamos conseguir colocar um volume V , que tem por fórmula:

V = π r 2 h

Com a fórmula do volume conseguimos isolar uma das variáveis para facilitar a nossa resolução e a vida:

h = V π r 2

Substituindo h   na fórmula do volume:

S = π r 2 + 2 π r V π r 2

S = π r 2 + 2 V r

Agora vamos derivar e igualar a zero para minimizar!!

Passo 3

Minimizando S , podemos encontrar o menor raio:

S ' r = 2 π r - 2 V r 2 = 0

2 π r = 2 V r 2

π r 3 = V

r = V π 3 c m

Passo 4

Substituindo r em h , podemos encontrar a menor altura:

h = V π r 2

h = V π V π 2 3

h = V π 3 c m

Resposta

Raio: V π 3 c m

Altura: V π 3 c m

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