Enunciado

Uma piscina circular tem diâmetro de 10 metros. A profundidade é constante ao longo das retas de leste para oeste e cresce linearmente de 1 metro na extremidade sul para dois metros na extremidade norte. Encontre o volume de água da piscina.

Passo 1

Beleza, galera? A gente precisa tentar entender como é o formato dessa piscina, pra podermos escrever uma integral dupla que represente o volume dela, certo?

O exercício nos disse que a piscina é circular com 10 metros de diâmetro, ou seja, com 5 metros de raio. Então, se escrevermos a integral em coordenadas polares, já saberemos que a região de integração será 0 ≤ r ≤ 5   ,     0 ≤ θ ≤ 2 π .

Agora só nos resta descobrir qual será a função a ser integrada, e pra isso vamos analisar a profundidade da piscina. Se ela é constante ao longo das retas de leste para oeste, podemos ter a intuição de que a função-profundidade não depende de x , considerando a direção do eixo x como a direção oeste-leste. Agora, considerando a direção do eixo y como a direção sul-norte, vemos que a função vai ser linearmente dependente de y :

p x ,   y = a y + b

Passo 2

Pra descobrir os valores de a e b , vamos substituir os pontos que temos: 1 metro na extremidade sul ( y = - 5 ) e 2 metros na extremidade norte ( y = 5 ):

p x ,   - 5 = a   .   - 5 + b = 1

b = 1 + 5 a

p x ,   5 = a   .   5 + b = 2

5 a + 1 + 5 a = 2

a = 1 10

b = 1 + 5 a = 1 + 5   . 1 10 = 3 2

Então,

p x ,   y = y 10 + 3 2

p r ,   θ = r   s e n   θ 10 + 3 2

E a integral dupla que representará o volume da piscina será:

V = ∫ 0 2 π ∫ 0 5 r   s e n   θ 10 + 3 2     r   d r   d θ

Passo 3

Show! Agora lembre-se de que, pra calcular a integral dupla, sempre começamos de dentro pra fora:

∫ 0 2 π ∫ 0 5 r   s e n   θ 10 + 3 2     r   d r   d θ = ∫ 0 2 π ∫ 0 5 r 2   s e n   θ 10 + 3 r 2   d r d θ = ∫ 0 2 π r 3 s e n   θ 30 + 3 r 2 4 0 5 d θ = ∫ 0 2 π 25   s e n   θ 6 + 75 4 d θ = - 25 cos ⁡ θ 6 + 75   θ 4 0 2 π   = - 25 6 + 75 π 2 + 25 6 - 0 = 75 π 2

Resposta

V = 75 π 2   m 3

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