Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 15.3 - Ex. 30
Determine o volume do sólido dado.
Limitada pelo cilindro e pelos planos , , no primeiro octante
Passo 1
Neste caso, a função que vamos integrar, vai sair da equação
Isolando
Como estamos falando do primeiro octante, , então
Olhando para a equação sobre o plano
Como a região está no primeiro octante, e , mas ainda temos uma região aberta, para descobrir a outra restrição, vamos achar a intersecção da função em .
Como
No plano
Podemos escrever como uma região do tipo II da seguinte forma
Passo 2
Temos então que o volume do solido que é restrito abaixo de na região é dado por
Agora vamos integrar, primeiro em
Agora em relação a , vamos usar a substituição
Mudando os limites de integração
Substituindo
Como temos um menos antes da integral, podemos inverter os limites
Resposta
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