Enunciado

Determine o volume do sólido dado.

Limitada pelo cilindro y 2 + z 2 = 4 e pelos planos x = 2 y , x = 0 , z = 0 no primeiro octante

Passo 1

Neste caso, a função que vamos integrar, vai sair da equação

y 2 + z 2 = 4

Isolando z

z 2 = 4 - y 2

z = ± 4 - y 2

Como estamos falando do primeiro octante, z ≥ 0 , então

z = 4 - y 2

Olhando para a equação x = 2 y sobre o plano z = 0

Como a região está no primeiro octante, x ≥ 0 e y ≥ 0 , mas ainda temos uma região aberta, para descobrir a outra restrição, vamos achar a intersecção da função em z = 0 .

y 2 + z 2 = 4

y 2 = 4

y = ± 2

Como y ≥ 0

y = 2

No plano

Podemos escrever D como uma região do tipo II da seguinte forma

D = x , y 0 ≤ x ≤ 2 y ,     0 ≤ y ≤ 2

Passo 2

Temos então que o volume do solido W que é restrito abaixo de z = 4 - y 2 na região D é dado por

V W = ∬ D z   d A = ∫ 0 2 ∫ 0 2 y 4 - y 2   d x d y

Agora vamos integrar, primeiro em x

= ∫ 0 2 4 - y 2 0 2 y d y = ∫ 0 2 2 y 4 - y 2 d y

Agora em relação a y , vamos usar a substituição

u = 4 - y 2

d u = - 2 y d y

Mudando os limites de integração

u 0 = 4

u 2 = 0

Substituindo

∫ 0 2 2 y 4 - y 2 d y = - ∫ 4 0 u d u

Como temos um menos antes da integral, podemos inverter os limites

∫ 0 4 u 1 / 2 d u = 2 u 3 / 2 3 0 4

= 2 3 4 3 / 2 = 2 3 2 3 = 2 4 3

= 16 3

Resposta

= 16 3

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