Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 11.5 - Ex. 34
Para quais valores de cada série é convergente?
Passo 1
Beleza, galera? Veja que essa é uma série alternada do tipo , onde:
Então, pra ela ser convergente, lembre-se das duas regrinhas: tem que ser finalmente decrescente e seu limite deve ir pra zero. Ou seja, temos que achar pra quais valores de essas duas coisas vão acontecer, ok?
Passo 2
Show! Vamos tentar pensar em alguns valores pra . Que tal ?
Bom, isso equivaleria à série harmônica alternada, que já sabemos que converge, pois é decrescente e o limite vai pra zero.
Passo 3
Beleza! Agora, vamos pensar em , que também equivale a :
Nesse caso, é sempre decrescente, pois o denominador da fração está sempre aumentando. O limite também se anula:
Então, pra , a série também é convergente.
Passo 4
Agora só falta pensar em . Pra ver se é pelo menos finalmente decrescente, vamos calcular a derivada, lembrando da regra do quociente:
Se , temos sempre , então o sinal da derivada só depende de . Pra saber onde é decrescente, temos que ver onde a derivada é negativa:
Perceba que, como é uma função que cresce para infinito, sempre vai existir um valor de a partir do qual sempre teremos . Então, podemos afirmar que é finalmente decrescente (não tem problema não ser decrescente no “início”), e já temos um requisito cumprido pra série ser convergente pra , certo?
Passo 5
O outro requisito é calcular o limite pra :
pois lembre-se que polinômios crescem muito mais rapidamente do que qualquer potência de logaritmo.
Assim, confirmamos que a série também é convergente pra .
Resposta
A série é convergente para qualquer valor de