Enunciado

Para quais valores de p cada série é convergente?

sum_(n = 2)^(oo) (- 1)^n ((ln n)^p)/(n)

Passo 1

Beleza, galera? Veja que essa é uma série alternada do tipo sum (- 1)^n b_n , onde:

b_n = ((ln n)^p)/(n)

Então, pra ela ser convergente, lembre-se das duas regrinhas: b_n tem que ser finalmente decrescente e seu limite deve ir pra zero. Ou seja, temos que achar pra quais valores de p essas duas coisas vão acontecer, ok?

Passo 2

Show! Vamos tentar pensar em alguns valores pra p . Que tal p = 0 ?

b_n = ((ln n)^0)/(n) = (1)/(n)

Bom, isso equivaleria à série harmônica alternada, que já sabemos que converge, pois b_n é decrescente e o limite vai pra zero.

Passo 3

Beleza! Agora, vamos pensar em p < 0 , que também equivale a - p > 0 :

b_n = ((ln n)^p)/(n) = (1)/(n (ln n)^(- p))

Nesse caso, b_n é sempre decrescente, pois o denominador da fração está sempre aumentando. O limite também se anula:

underset(n -> oo)(lim) b_n = underset(n -> oo)(lim) (1)/(n (ln n)^(- p)) -> (1)/(oo . oo) -> 0

Então, pra p < 0 , a série também é convergente.

Passo 4

Agora só falta pensar em p > 0 . Pra ver se b_n é pelo menos finalmente decrescente, vamos calcular a derivada, lembrando da regra do quociente:

(b_n)^' = (((ln n)^p)/(n))^' = ((p (ln n)^(p - 1) (1)/(n)) n - (ln n)^p . 1)/(n^2) = ((ln n)^(p - 1))/(n^2) (p - ln n)

Se p > 0 , temos sempre ((ln n)^(p - 1))/(n^2) > 0 , então o sinal da derivada só depende de p - ln n . Pra saber onde b_n é decrescente, temos que ver onde a derivada é negativa:

p - ln n < 0

p < ln n

Perceba que, como ln n é uma função que cresce para infinito, sempre vai existir um valor de n a partir do qual sempre teremos p < ln n . Então, podemos afirmar que b_n é finalmente decrescente (não tem problema não ser decrescente no “início”), e já temos um requisito cumprido pra série ser convergente pra p > 0 , certo?

Passo 5

O outro requisito é calcular o limite pra p > 0 :

underset(n -> oo)(lim) b_n = underset(n -> oo)(lim) ((ln n)^p)/(n) = 0

pois lembre-se que polinômios crescem muito mais rapidamente do que qualquer potência de logaritmo.

Assim, confirmamos que a série também é convergente pra p > 0 .

Resposta

A série é convergente para qualquer valor de p

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