Enunciado

  1. Os planetas se movem ao redor do Sol em órbitas elípticas com o Sol em um dos focos. As posições de um planeta que estão mais próximas ou mais afastadas do Sol são chamadas respectivamente periélio e afélio do planeta. Use o Exercício 25 ( a ) para mostrar que a distância no periélio de um planeta até o Sol é a ( 1 - e ) e que sua distância no afélio é a ( 1 + e ) .
  2. Use os dados do Exercício 25 ( b ) para encontrar as distâncias da Terra até o Sol no periélio e no afélio.

Passo 1

Eaee, tudo certinho?? Bom... queremos demonstrar que a distância no periélio de um planeta até o Sol é a ( 1 - e ) e que sua distância no afélio é a ( 1 + e ) .

Mas o que é afélio e periélio??

Bom... são os pontos mais longo e mais próximo do Sol, respectivamente. Veja:

Para isso, vamos utilizar a equação que encontramos no exercício 25 :

r = a ( 1 - e 2 ) 1 + e   c o s   θ

Onde e é a excentricidade e a é uma constante a distância entre o planeta e o Sol (que seria para aplicar para vários planetas).

Em seguida, devemos utilizar r = 0,017 e 2 a = 2,99 ⋅ 10 8   k m para encontrarmos essas distâncias utilizando a Terra.

Passo 2

Bom... já vimos que:

r = a ( 1 - e 2 ) 1 + e   c o s   θ

Porém, o produto notável no numerador pode ser escrito da seguinte forma:

1 - e 2 = ( 1 + e ) ( 1 - e )

O que deixa a nossa cônica com essa outra cara:

r = a ( 1 + e ) ( 1 - e ) 1 + e cos ⁡ θ

Passo 3

E por ser uma elipse horizontal temos que os vértices maiores dessa elipse serão o afélio e o periélio com o periélio corresponde ao ângulo θ = 0 (o que deixa o denominador com o maior numero) e o afélio com o ângulo θ = π , logo o valor de r no periélio será igual a:

r p e r i e l i o = a 1 + e 1 - e 1 + e   c o s   0 ∴

r p e r i e l i o = a 1 + e 1 - e 1 + e ⋅ 1

Simplificando:

r p e r i e l i o = a ( 1 - e )

Agora a distância r do afélio:

r a f e l i o = a 1 + e 1 - e 1 + e cos ⁡ π ∴

r a f e l i o = a ( 1 + e ) ( 1 - e ) 1 + e ⋅ - 1

Simplificando:

r a f e l i o = a ( 1 + e )

Passo 4

A questão 25   b nos diz que:

2 a = 2.99 × 10 8 ∴

a = 149.5 × 10 6

E

e = 0.017

Logo:

r p e r i e l i o = 149.5 × 10 6 1 - 0.017 ∴

r p e r i e l i o = 146.96 × 10 6   k m

E

r a f e l i o = 149.5 × 10 6 1 + 0.017 ∴

r a f e l i o = 152.04 × 10 6   k m

Resposta

r p e r i e l i o = 146.96 × 10 6   k m

r a f e l i o = 152.04 × 10 6   h m

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