Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 14.8 - Ex. 44
O plano intercepta o cone em uma elipse.
(a) Faça os gráficos do cone, do plano e da elipse.
(b) Use os multiplicadores de Lagrange para achar os pontos mais alto e mais baixo da elipse.
Passo 1
(a) Vamos fazer os gráficos do cone, do plano e da elipse na mesma tela:
Passo 2
(b) Galera, como queremos achar os pontos mais alto e mais baixo da elipse, vamos otimizar a função , já que representa a altura no gráfico.
Essa função é restrita a e também restrita a para limitarmos na elipse que surge da interseção do plano com o cone.
Então, para usar os multiplicadores de Lagrange, devemos ter:
Vamos começar calculando os gradientes das funções:
Então:
Então ficamos com cinco equações:
Passo 3
Note que de obtemos:
Agora vamos substituir isso em :
E também em :
Passo 4
Se adotarmos , então teremos, ao ir substituindo os valores:
Mas, se adotarmos , teremos:
Como , podemos dizer que o ponto mais alto da elipse é e o ponto mais baixo é .
Resposta
(b) Mais alto:
Mais baixo: