Enunciado

O plano 4 x - 3 y + 8 z = 5 intercepta o cone z 2 = x 2 + y 2 em uma elipse.

(a) Faça os gráficos do cone, do plano e da elipse.

(b) Use os multiplicadores de Lagrange para achar os pontos mais alto e mais baixo da elipse.

Passo 1

(a) Vamos fazer os gráficos do cone, do plano e da elipse na mesma tela:

Passo 2

(b) Galera, como queremos achar os pontos mais alto e mais baixo da elipse, vamos otimizar a função f x ,   y ,   z = z , já que z representa a altura no gráfico.

Essa função é restrita a g x ,   y ,   z = 4 x - 3 y + 8 z = 5 e também restrita a h x ,   y ,   z = x 2 + y 2 - z 2 = 0 para limitarmos na elipse que surge da interseção do plano com o cone.

Então, para usar os multiplicadores de Lagrange, devemos ter:

∇ f = λ ∇ g + μ ∇ h

Vamos começar calculando os gradientes das funções:

∇ f = ∂ f ∂ x , ∂ f ∂ y , ∂ f ∂ z = 0,0 , 1

∇ g = ∂ g ∂ x , ∂ g ∂ y , ∂ g ∂ z = 4 , - 3,8

∇ h = ∂ h ∂ x , ∂ h ∂ y , ∂ h ∂ z = 2 x , 2 y , - 2 z

Então:

0 ,   0 ,   1 = λ 4 ,   - 3 ,   8 + μ 2 x ,   2 y ,   - 2 z

Então ficamos com cinco equações:

4 λ + 2 μ x = 0                                                                                                                                                 ( 1 )

- 3 λ + 2 μ y = 0                                                                                                                                                 ( 2 )

8 λ - 2 μ z = 1                                                                                                                                                 ( 3 )

4 x - 3 y + 8 z = 5                                                                                                                                         ( 4 )

z 2 = x 2 + y 2                                                                                                                                                 5

Passo 3

Note que de 1 ,   2 ,   ( 3 ) obtemos:

x = - 2 λ μ                     y = 3 λ 2 μ                     z = 8 λ - 1 2 μ

Agora vamos substituir isso em 4 :

4 - 2 λ μ - 3 3 λ 2 μ + 8 8 λ - 1 2 μ = 5

- 16 λ - 9 λ + 64 λ - 8 = 10 μ

μ = 39 λ - 8 10

E também em 5 :

8 λ - 1 2 μ 2 = - 2 λ μ 2 + 3 λ 2 μ 2

64 λ 2 - 16 λ + 1 = 16 λ 2 + 9 λ 2

39 λ 2 - 16 λ + 1 = 0

λ = 1 13       o u       λ = 1 3

Passo 4

Se adotarmos λ = 1 13 , então teremos, ao ir substituindo os valores:

μ = 39 1 13 - 8 10 = - 1 2

x = - 2 1 13 - 1 2 = 4 13                     y = 3 1 13 2 - 1 2 = - 3 13                     z = 8 1 13 - 1 2 - 1 2 = 5 13

Mas, se adotarmos λ = 1 3 , teremos:

μ = 39 1 3 - 8 10 = 1 2

x = - 2 1 3 1 2 = - 4 3                     y = 3 1 3 2 1 2 = 1                     z = 8 1 3 - 1 2 1 2 = 5 3

Como z = 5 3 > 5 13 , podemos dizer que o ponto mais alto da elipse é - 4 3 ,   1   ,   5 3 e o ponto mais baixo é 4 13 ,   - 3 13 , 5 13 .

Resposta

(b) Mais alto: - 4 3 ,   1   ,   5 3

Mais baixo: 4 13 ,   - 3 13 , 5 13

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