Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 14.8 - Ex. 48
(a) Maximize sujeita às restrições e .
(b) Tome
e mostre que
para quaisquer números . Essa desigualdade é conhecida como a Desigualdade de Cauchy-Schwarz.
Passo 1
(a) Galera, queremos maximizar a função restrita a e também restrita a . Então, para usar multiplicadores de Lagrange, devemos ter:
Então ficamos com equações:
Passo 2
Se olharmos para as primeiras equações, veremos que, em geral, teremos para todo :
Podemos usar esse resultado nas duas últimas equações:
Passo 3
Se voltarmos nas seguintes equações pra substituir os valores de e :
perceberemos que só há duas possibilidades:
No primeiro caso, teremos:
Já no segundo caso:
Então o valor máximo é .
Passo 4
(b) Podemos reescrever assim:
Então,
pois provamos no item (a) que
Resposta
(a)
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