Enunciado

(a) Maximize ∑ i = 1 n x i y i sujeita às restrições ∑ i = 1 n x i 2 = 1 e ∑ i = 1 n y i 2 = 1 .

(b) Tome

x i = a i ∑ a j 2                     e                     y i = b i ∑ b j 2

e mostre que

∑ a i b i ≤ ∑ a j 2 ∑ b j 2

para quaisquer números a 1 ,   … ,   a n ,   b 1 , … , b n . Essa desigualdade é conhecida como a Desigualdade de Cauchy-Schwarz.

Passo 1

(a) Galera, queremos maximizar a função f x 1 ,   x 2 ,   … ,   x n ,   y 1 ,   y 2 ,   … ,   y n = ∑ i = 1 n x i y i     restrita a g x 1 ,   x 2 ,   … ,   x n = ∑ i = 1 n x i 2 = 1 e também restrita a h y 1 ,   y 2 ,   … ,   y n = ∑ i = 1 n y i 2 = 1 . Então, para usar multiplicadores de Lagrange, devemos ter:

∇ f = λ ∇ g + μ ∇ h

y 1 ,   y 2 ,   … ,   y n ,   x 1 ,   x 2 ,   … ,   x n = λ 2 x 1 ,   2 x 2 ,   … ,   2 x n ,   0 ,   0 ,   … ,   0 + μ 0 ,   0 ,   … ,   0 ,   2 y 1 ,   2 y 2 ,   … ,   2 y n

Então ficamos com 2 n + 2 equações:

y 1 = 2 λ x 1                                                                                                                                               ( 1 )

y 2 = 2 λ x 2                                                                                                                                               ( 2 )

…                                                                                                                                                           ( … )

y n = 2 λ x n                                                                                                                                             ( n )

x 1 = 2 μ y 1                                                                                                                             n + 1

x 2 = 2 μ y 2                                                                                                                             ( n + 2 )

…                                                                                                                                                           ( … )

x n = 2 μ y n                                                                                                                                       ( 2 n )

∑ i = 1 n x i 2 = 1                                                                                                                       2 n + 1

∑ i = 1 n y i 2 = 1                                                                                                                       ( 2 n + 2 )

Passo 2

Se olharmos para as primeiras 2 n equações, veremos que, em geral, teremos para todo i :

x i = 2 μ y i                     e                     y i = 2 λ x i

Podemos usar esse resultado nas duas últimas equações:

∑ i = 1 n x i 2 = 1                     e                     ∑ i = 1 n y i 2 = 1

∑ i = 1 n 2 μ y i 2 = 1                     e                     ∑ i = 1 n 2 λ x i 2 = 1

4 μ 2 ∑ i = 1 n y i 2 = 1                     e                     4 λ 2 ∑ i = 1 n x i 2 = 1

4 μ 2   .   1 = 1                     e                     4 λ 2   .   1 = 1

μ = ± 1 2                     e                     λ = ± 1 2

Passo 3

Se voltarmos nas seguintes equações pra substituir os valores de μ e λ :

x i = 2 μ y i                     e                     y i = 2 λ x i

perceberemos que só há duas possibilidades:

x i = y i                     o u                     x i = - y i

No primeiro caso, teremos:

∑ i = 1 n x i y i = ∑ i = 1 n y i 2 = 1

Já no segundo caso:

∑ i = 1 n x i y i = ∑ i = 1 n - y i 2 = - 1

Então o valor máximo é 1 .

Passo 4

(b) Podemos reescrever assim:

a i = x i ∑ a j 2                     e                     b i = y i ∑ b j 2

Então,

∑ a i b i = ∑ x i ∑ a j 2 y i ∑ b j 2 = ∑ a j 2 ∑ b j 2 ∑ x i y i ≤ ∑ a j 2 ∑ b j 2

pois provamos no item (a) que

∑ i = 1 n x i y i ≤ 1

Resposta

(a) 1

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