Enunciado

Pode-se garantir que a equação x 3 + 2 x y + y 3 = 8 define implicitamente alguma função diferenciável y = y ( x ) ? Em caso positivo, determinar d y d x .

Passo 1

Bom, pessoal, vamos analisar as hipóteses do teorema da função implícita. Seja F x , y = x 2 + 2 x y + y 3 - 8 . Vamos encontrar as derivadas parciais dessa função:

∂ F ∂ x = 3 x 2 + 2 y

∂ F ∂ y = 2 x + 3 y 2

Podemos observar que ambas as derivadas são contínuas em R 2 . Logo, podemos garantir que x 3 + 2 x y + y 3 = 8 define implicitamente uma função diferencial!

Passo 2

Agora precisamos descobrir d y d x !

3 x 2 ⋅ d x d x + 2 y ⋅ d x d x + 2 x ⋅ d y d x + 3 y 2 ⋅ d y d x = 0

d y d x 2 x + 3 y 2 = - 3 x 2 - 2 y

d y d x = - 3 x 2 - 2 y 2 x + 3 y 2

Resposta

A derivada é igual a:

d y d x = - 3 x 2 - 2 y 2 x + 3 y 2

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