Enunciado

Em que pontos ( x ,   y ) no plano as funções nos Exercícios 31-34 são contínuas?

  1. f x ,   y = x + y x - y
  2. f x ,   y = y x 2 + 1

Passo 1

Oi galerinha, vem comigo!

Assim como para funções de uma variável, a continuidade é definida em termos de limites. Uma função f x ,   y é contínua no ponto x 0 ,   y 0 se:

  1. f for definida em x 0 ,   y 0 ;
  2. lim x ,  y → x 0 ,   y 0 ⁡ f x ,   y existe;
  3. lim x ,  y → x 0 ,   y 0 ⁡ f x ,   y = f x 0 ,   y 0 .

Uma função é contínua se for contínua em todos os pontos de seu domínio.

Passo 2

Então, no item a., temos a seguinte função:

f x ,   y = x + y x - y

Sabemos que o denominador dessa função tem que ser:

x - y ≠ 0

Ou seja:

x ≠ y

Então a função f é contínua em seu domínio, o que corresponde ao conjunto:

D = x , y | x ≠ y

Passo 3

Já para o item b., temos:

f x ,   y = y x 2 + 1

A função f é contínua em todo ponto x ,   y .

Tchau pessoal! Até mais!!!

Resposta

  1. Todo x ,   y , exceto onde x = y .
  2. Todo x ,   y .

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