Enunciado

  1. Os pontos P 1 e P 2 são fontes ou sorvedouros no campo vetorial F → mostrado na figura? Dê uma explicação baseada exclusivamente na figura.
  2. Dado que F → x , y = x , y 2 , use a definição de divergente para verificar sua resposta da parte a .

Passo 1

Vamos analisar esse gráfico.

Primeiro em P 1 : observe que as linhas de campo estão saindo nesse ponto, então temos uma fonte ali. Sendo assim, pela definição de fluxo, temos um fluxo positivo, portanto ∇ ⋅ F → > 0 .

Passo 2

Agora vamos ao outro ponto.

Dá uma olhada em P 2 : observe que as linhas de campo estão chegando nesse ponto, então temos um sorvedouro aí. Sendo assim, pela definição de fluxo, temos um fluxo negativo, portanto ∇ ⋅ F → < 0 .

Passo 3

Agora vamos analisar o divergente do campo.

O campo é F → = x i → + y 2 j →

E seu divergente é:

∇ ⋅ F → = ∂ ∂ x x + ∂ ∂ y y 2 = 1 + 2 y

No caso de P 1 temos que x < 0   (embora seu sinal não influiencie no sinal do divergente) e que y > 0 . Assim, com y positivo, então

∇ ⋅ F → = 1 + 2 y > 0

Ou seja, nesse ponto temos uma fonte.

No caso de P 2 temos que x > 0   e que y < 0 . Assim, com y negativo, então

∇ ⋅ F → = 1 + 2 y < 0

Ou seja, nesse ponto temos um sorvedouro.

Resposta

a P 1 f o n t e ; P 2   s o r v e d o u r o .

b P 1 :   ∇ ⋅ F → = 1 + 2 y > 0   ; P 2 ∇ ⋅ F → = 1 + 2 y < 0

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