Enunciado

A população P t de uma grande cidade é descrita pelo problema de valor inicial:

d P d t = P 10 - 1 - 10 - 7 P ,     P 0 = 5000

Em que t é medido em meses. Qual é o valor limite da população? Quando a população será igual à metade desse valor limite?

Passo 1

A equação diferencial do nosso problema é:

d P d t = P 10 - 1 - 10 - 7 P

Que é uma equação logística, conforme estudamos na seção em questão. O bom é que esse tipo de equação já tem uma solução conhecida, que é:

P t = a k b k + e - a t

No nosso caso, temos que a = 10 - 1 e b = 10 - 7 , então:

P t = 10 - 1 k 10 - 7 k + e - 10 - 1 t

Show!

Passo 2

O enunciado nos diz que P 0 = 5000 , então se substituirmos na expressão, teremos:

5000 = 0,1 k 10 - 7 k + 1

5000 10 7 k + 5000 = 0,1 k

0,0005 k - 0,1 k = - 5000

k 0,0005 - 0,1 = - 5000

∴ k = 50250

Substituindo na nossa expressão:

P t = 5025 0,005 + e - 0,1 t

Show!

Passo 3

A questão pergunta qual é o valor limite da população, certo? O valor limite ocorre para t → ∞ , então teremos:

P t = 5025 0,005 + 0

∴ P ≅ 1.000.000

A população será de P = 500.000 quando:

500.000 = 5025 0,005 + e - 0,1 t

0,005 + e - 0,1 t = 5025 500.000 = 0,01

e - 0,1 t = 0,005

Aplicando l n em ambos os lados, teremos:

- 0,1 t = - 5,29

∴ t = 52,88   m e s e s

E está aí nossa resposta, galera! 😉

Resposta

P t = 5025 0,005 + e - 0,1 t

Para t → ∞ , temos: P ≅ 1.000.000

Para P = 500.000 , temos: t = 52,88   m e s e s

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Nos problemas 1-26, resolva a equação diferencial dada usando uma substituição apropriada.1. x e 2 y . d y d x + e 2 y = ln ⁡ x x
Nos Problemas 1-26, resolva a equação diferencial dada usando uma substituição apropriada. y   d x + 1 + y e x d y = 0
Nos Problemas 1-26, resolva a equação diferencial dada usando uma substituição apropriada. y ' = y + x y + 1 2 + 1
Nos Problemas 1-26, resolva a equação diferencial dada usando uma substituição apropriada. 2 y y ' + x 2 + y 2 + x = 0
Nos Problemas 1-26, resolva a equação diferencial dada usando uma substituição apropriada. d y d x - 4 x y = 2 x 5 e y x 4
Nos Problemas 1-26, resolva a equação diferencial dada usando uma substituição apropriada. d y d x + x + y + 1 = x + y 2 e 3 x
Nos Problemas 1-26, resolva a equação diferencial dada usando uma substituição apropriada. sen ⁡ y   s e n h   x   d x + cos ⁡ y cosh ⁡ x   d y = 0
Nos Problemas 1-26, resolva a equação diferencial dada usando uma substituição apropriada. y d x d y + 2 x ln ⁡ x = x e y
Nos Problemas 1-26, resolva a equação diferencial dada usando uma substituição apropriada. x 4 y 2 y ' + x 3 y 3 = 2 x 3 - 3
Nos Problemas 1-26, resolva a equação diferencial dada usando uma substituição apropriada. x e y y ' - 2 e y = x 2
Nos Problemas 1-26, resolva a equação diferencial dada usando uma substituição apropriada. y ' ' + y ' 2 + 1 = 0
Nos Problemas 1-26, resolva a equação diferencial dada usando uma substituição apropriada. y ' ' + tg ⁡ x y ' = 0