Enunciado

Nos Problemas 1-26, resolva a equação diferencial dada usando uma substituição apropriada.

x y ' ' = y ' + y ' 3

Passo 1

Fala aí, tudo beleza?

Olha, a gente tem que fazer uma substituição nessa EDO aqui:

x y ' ' = y ' + y ' 3

Vamos reduzir a ordem dela, fazendo u = y ' . Daí temos:

u ' = y ' '

Vamos substituir isso na nossa EDO agora...

Passo 2

Substituindo na EDO, temos:

x u ' = u + u 3

u ' - u x = u 3 x

E essa é uma equação de Bernoulli, lembra dela? Vamos resolver...

Passo 3

Pra resolver uma equação de Bernoulli, usamos a substituição:

w = u 1 - n

E no nosso caso, n = 3 , temos:

w = u - 2 = 1 u 2

d w d x = - 2 u 3 d u d x

Substituindo na nossa e simplificando, ficamos com:

d w d x + 2 x w = - 2 x

Passo 4

Agora chegamos a uma equação linear, vamos resolver, lembrando que a solução é da forma:

w = e - ∫ p x d x ∫ e ∫ p x d x q x   d x

Onde no nosso caso temos:

p x = 2 x

q x = - 2 x

w = e - ∫ 2 x   d x ∫ e ∫ 2 x   d x - 2 x   d x

w = e - 2 ln ⁡ x   ∫ e 2   ln ⁡ x - 2 x   d x

w = 1 x 2 ∫ x 2 - 2 x d x

w = 1 x 2 ∫ - 2 x C

w = 1 x 2 - x 2 + C

w =   - 1 + C x 2

w = - x 2 + C x 2

Passo 5

Agora só falta voltar para nossa variável inicial! Voltando primeiro para u .

Lembrando que:

w = 1 u 2

1 u 2 = - x 2 + C x 2

u = x C - x 2

E agora voltando para x   e   y , lembrando que:

u = y '

Temos:

y ' = x C - x 2

Então:

y = ∫ x C - x 2

y =   - C - x 2 + C 2

E terminamos! 😉

Resposta

y =   - C - x 2 + C 2

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