Enunciado

Nos Problemas 1-26, resolva a equação diferencial dada usando uma substituição apropriada.

y ' ' + y ' 2 + 1 = 0

Passo 1

Fala aí, tudo beleza?

Olha, a gente tem que fazer uma substituição nessa EDO aqui:

y ' ' + y ' 2 + 1 = 0

Pra transformar ela em algo que a gente saiba resolver...

A gente tem que tentar diminuir a ordem dessa EDO, pra isso, vamos fazer:

u = y '

Passo 2

Bom, se u = y ' , temos:

u ' = y ' '

Substituindo isso na EDO, temos:

u ' + u 2 + 1 = 0

d u d x = - u 2 - 1

d u = - u 2 - 1   d x

d u u 2 + 1 =   - d x

Show! Chegamos a uma equação com variáveis já separadas. Só temos que resolver agora...

Passo 3

Vamos integrar os dois lados:

∫ d u u 2 + 1   = ∫ - d x

a r c t g   u = - x + C

u = tg ⁡ ( - x + C )

E como u = y ' , temos:

y ' = tg ⁡ - x + C

Aí vamos integrar novamente...

Passo 4

Temos que:

∫ tg ⁡ ( - x + C )   d x

y = ln ⁡ | cos ⁡ ( - x + C ) | + C 2

E agora sim, terminamos! 😉

Resposta

y = ln ⁡ | cos ⁡ ( - x + C ) | + C 2

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Nos Problemas 1-26, resolva a equação diferencial dada usando uma substituição apropriada. d y d x - 4 x y = 2 x 5 e y x 4
Nos Problemas 1-26, resolva a equação diferencial dada usando uma substituição apropriada. d y d x + x + y + 1 = x + y 2 e 3 x
Nos Problemas 1-26, resolva a equação diferencial dada usando uma substituição apropriada. sen ⁡ y   s e n h   x   d x + cos ⁡ y cosh ⁡ x   d y = 0
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Nos Problemas 1-26, resolva a equação diferencial dada usando uma substituição apropriada. x 4 y 2 y ' + x 3 y 3 = 2 x 3 - 3
Nos Problemas 1-26, resolva a equação diferencial dada usando uma substituição apropriada. x e y y ' - 2 e y = x 2
Nos Problemas 1-26, resolva a equação diferencial dada usando uma substituição apropriada. y ' ' + tg ⁡ x y ' = 0
Resolva a equação diferencial dada por meio de uma substituição. y ' ' = x - y '