Enunciado

Nos Problemas 1-26, resolva a equação diferencial dada usando uma substituição apropriada.

y ' ' + tg ⁡ x y ' = 0

Passo 1

Fala aí, tudo beleza?

Olha, a gente tem que fazer uma substituição nessa EDO aqui:

y ' ' + tg ⁡ x y ' = 0

Pra transformar ela em algo que a gente saiba resolver...

A gente tem que tentar diminuir a ordem dessa EDO, pra isso, vamos fazer:

u = y '

Passo 2

Bom, se u = y ' , temos:

u ' = y ' '

Substituindo isso na EDO, temos:

y ' ' + tg ⁡ x y ' = 0

u ' + u   t g   x = 0

d u d x = - u tg ⁡ x

d u = - u tg ⁡ x d x

d u u = - tg ⁡ x   d x

Show! Chegamos a uma equação com variáveis já separadas. Só temos que resolver agora...

Passo 3

Vamos integrar os dois lados:

∫ d u u   = ∫ - tg ⁡ x   d x

ln ⁡ u =   ln ⁡ cos ⁡ x + C

ln ⁡ u - ln ⁡ cos ⁡ x = C

ln ⁡ u cos ⁡ x = C

u cos ⁡ x = c 1

u = c 1   c o s   x

E como u = y ' , temos:

y ' = c 1 cos ⁡ x

Aí vamos integrar novamente...

Passo 4

Temos que:

y = ∫ c 1 cos ⁡ x   d x

y = c 1 sen ⁡ x + C 2

E agora sim, terminamos! 😉

Resposta

y = c 1 sen ⁡ x + C 2

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