Enunciado

Nos Problemas 1-26, resolva a equação diferencial dada usando uma substituição apropriada.

x e y y ' - 2 e y = x 2

Passo 1

Fala aí, tudo beleza?

Olha, a gente tem que fazer uma substituição nessa EDO aqui:

x e y y ' - 2 e y = x 2

Pra transformar ela em algo que a gente saiba resolver...

Um bom palpite aqui é que ela pode se transformar numa equação linear, mas pra isso a gente precisa que somente termos em função de x acompanhe os termos de y .

E se a gente fizer u = e y ? (ele tá aparecendo muito ali na nossa equação...)

Passo 2

Bom, derivando u = e y a gente tem:

y = ln ⁡ u

y ' = 1 u   u '

E aí substituindo isso na nossa equação temos:

x e y y ' - 2 e y = x 2

x u 1 u   u ' - 2 u = x 2

x u ' - 2 u = x 2

u ' - 2 u x = x

E essa é uma equação linear, em u . Vamos resolvê-la!

Passo 3

Vamos lá, a solução de uma equação linear é:

u = e - ∫ p x d x ∫ e ∫ p x d x q x   d x

Onde no nosso caso temos:

p x = - 2 x

q x = x

Substituindo, ficamos com:

u = e - ∫ - 2 x   d x ∫ e ∫ - 2 x   d x ⋅ x   d x

u = e 2 ln ⁡ x ∫ e - 2 ln ⁡ x ⋅ x   d x

u = x 2 ∫ x - 2 ⋅ x   d x

u = x 2 ln ⁡ | x | + C

u = x 2 ln ⁡ | x | + C x 2

E aí é só voltar para y ...

e y = x 2 ln ⁡ | x | + C x 2

E terminamos por aqui😉

Resposta

e y = x 2 ln ⁡ | x | + C x 2

Exercícios de Livros Relacionados

Nos problemas 1-26, resolva a equação diferencial dada usando uma substituição apropriada.1. x e 2 y . d y d x + e 2 y = ln ⁡ x x
Nos Problemas 1-26, resolva a equação diferencial dada usando uma substituição apropriada. y   d x + 1 + y e x d y = 0
Nos Problemas 1-26, resolva a equação diferencial dada usando uma substituição apropriada. y ' = y + x y + 1 2 + 1
Nos Problemas 1-26, resolva a equação diferencial dada usando uma substituição apropriada. 2 y y ' + x 2 + y 2 + x = 0
Nos Problemas 1-26, resolva a equação diferencial dada usando uma substituição apropriada. d y d x - 4 x y = 2 x 5 e y x 4
Nos Problemas 1-26, resolva a equação diferencial dada usando uma substituição apropriada. d y d x + x + y + 1 = x + y 2 e 3 x
Nos Problemas 1-26, resolva a equação diferencial dada usando uma substituição apropriada. sen ⁡ y   s e n h   x   d x + cos ⁡ y cosh ⁡ x   d y = 0
Nos Problemas 1-26, resolva a equação diferencial dada usando uma substituição apropriada. y d x d y + 2 x ln ⁡ x = x e y
Nos Problemas 1-26, resolva a equação diferencial dada usando uma substituição apropriada. x 4 y 2 y ' + x 3 y 3 = 2 x 3 - 3
Nos Problemas 1-26, resolva a equação diferencial dada usando uma substituição apropriada. y ' ' + y ' 2 + 1 = 0
Nos Problemas 1-26, resolva a equação diferencial dada usando uma substituição apropriada. y ' ' + tg ⁡ x y ' = 0
Resolva a equação diferencial dada por meio de uma substituição. y ' ' = x - y '