Enunciado

51-60 Dê um gráfico de polinômio e identifique as coordenadas dos cortes com os eixos, dos pontos estacionários e dos pontos de inflexão. Confira as respostas com um recurso gráfico.

52- p x = 1 + 8 x - x 2

Passo 1

Galera, vamos começar derivando a função:

p ´ x = 8 - 2 x

Agora, vamos derivar novamente:

p ´ ´ x = - 2

Passo 2

Igualando a primeira derivada a zero, temos:

p ´ x = 0

- 2 x + 8 = 0

- 2 x = - 8

x = 4

Para x = 4 :

p 4 = 17

( 4,17 ) é o nosso ponto estacionário.

O próximo passo é saber se f ´ ´ x 0 > 0 , f ´ ´ x 0 < 0 ou f ´ ´ x 0 = 0 . Isso que vai determinar qual tipo de extremos relativo nós encontramos.

Passo 3

Bom, como o nosso p ´ ´ ( x ) é uma função constante, p ´ ´ x = - 2 . Isso quer dizer que para qualquer valor de x 0 nós teremos um máximo. OK ?

( 4,17 ) é o nosso máximo.

Vamos ver se temos algum ponto de inflexão... Para isso nós temos que fazer um estudo de sinais com a função p ´ ´ ( x ) . Então vamos lá!

Caracaaaa essa é muito fácil !!! Como nós temos um função constante, nós não temos pontos de inflexão, pois não há mudança de sinal na função ( < 0 ,   > 0 ) . Sacou ???

Por último, temos que ver os cortes com os eixos.

- Eixo x :

1 + 8 x - x 2 = 0

x 1 = - 8 - 68 - 2   e   x 2 = - 8 + 68 - 2

Os cortes com eixo x são nos pontos:

- 8 - 68 - 2 , 0   e   ( - 8 + 68 - 2 , 0 )

- Eixo y :

p 0 = 1

O corte com eixo y é no ponto:

( 0,1 )

Assim, nós temos o seguinte gráfico:

Resposta

( 4,17 ) é o nosso ponto estacionário. (máximo)

Não há pontos de inflexão.

Cortes nos eixos: - 8 - 68 - 2 , 0 , ( - 8 + 68 - 2 , 0 ) ,   ( 0,1 )

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