Enunciado

A primeira aparição impressa da regra de L’Hospital foi no livro Analyse des Infiniment Petits publicado pelo marquês de L’Hospital em 1696. Este foi o primeiro livro texto de cálculo a ser publicado e o exemplo que o marquês usou em seu livro para ilustrar sua regra foi encontrar o limite da função

y = 2 a 3 x - x 4 - a a 2 x 3 a - a x 3 4

quando x tende a a , onde a > 0 . Resolva esse problema.

Passo 1

O que a questão pede para calcularmos é o limite

lim x → a ⁡ 2 a 3 x - x 4 - a a 2 x 3 a - a x 3 4

Observe que o limite é indeterminado do tipo 0/0, de modo que podemos aplicar a regra de L’Hospital!!!

Passo 2

A derivada do numerador é

2 a 3 x - x 4 - a a 2 x 3 ' = 1 2 2 a 3 x - x 4   ⋅ 2 a 3 - 4 x 3 - a 3 a 4 x 2 3 ⋅ a 2 = a 3 - 2 x 3 2 a 3 x - x 4 - a 2 3 a x 2 3

Já para o denominador:

a - a x 3 4 ' = - 3 a x 2 4 a 3 x 9 4 = - 3 a 4 a 3 x 4

Passo 3

Assim, quando x → a ,

2 a 3 x - x 4 - a a 2 x 3 ' → a 3 - 2 a 3 2 a 3 a - a 4 - a 2 3 a a 2 3 = - a 3 a 2 - a 2 3 a = - a - a 3 = - 4 a 3

a - a x 3 4 ' → - 3 a 4 a 3 a 4 = - 3 4

Desta forma,

lim x → a ⁡ 2 a 3 x - x 4 - a a 2 x 3 a - a x 3 4 = lim x → a ⁡ 2 a 3 x - x 4 - a a 2 x 3 ' a - a x 3 4 ' = - 4 a / 3 - 3 / 4 = 16 a 9

Resposta

16 a / 9 .

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Encontre o limite . Use a regra de l’Hôspital quando for apropriado . Se houver um método mais elementar, considere utilizá-lo. Se a regra de l’Hôspital não se aplicar, o porquê. l i m x → 0 1 + 2 x -
Encontre o limite . Use a regra de l’Hôspital quando for apropriado . Se houver um método mais elementar, considere utilizá-lo. Se a regra de l’Hôspital não se aplicar, o porquê. l i m x → 1 x 3 - 2 x
Encontre o limite . Use a regra de l’Hôspital quando for apropriado . Se houver um método mais elementar, considere utilizá-lo. Se a regra de l’Hôspital não se aplicar, o porquê. lim t → 0 ⁡ e 2 t - 1
Encontre o limite . Use a regra de l’Hôspital quando for apropriado . Se houver um método mais elementar, considere utilizá-lo. Se a regra de l’Hôspital não se aplicar, o porquê. l i m θ → π 2 1 - s e
Use os gráficos de f e g e suas retas em ( 2,0 ) para encontrar lim x → 2 ⁡ f x g x