Enunciado

Se f for contínua em [ 0 , π ] , use a substituição u = π - x para demonstrar que

∫ 0 π x   f s e n   x   d x = π 2   ∫ 0 π f s e n   x   d x

Passo 1

Opa, esse problema é bem direto! Temos:

∫ 0 π x   f s e n   x   d x = π 2   ∫ 0 π f s e n   x   d x

E temos que usar a substituição u = π - x para demonstrar essa igualdade é verdadeira!

Fazendo u = π - x , temos que d u = - d x e x = 0 ⇒ u = π e x = π ⇒ u = 0 . Além disso, x = π - u . Assim,

∫ 0 π x   f s e n   x   d x = ∫ π 0 π - u   f s e n   π - u   ( - d u ) = ∫ 0 π π - u   f s e n   π - u   d u

Passo 2

Note que s e n   π - u = s e n   π cos ⁡ u - s e n   u cos ⁡ π = s e n   u . Assim,

∫ 0 π x   f s e n   x   d x = ∫ 0 π π - u   f s e n   u   d u

Note que nessa última integral, podemos fazer uma nova mudança de variável que não afeta em nada a integral com x = u . Assim

∫ 0 π x   f s e n   x   d x = ∫ 0 π π - x   f s e n   x   d x

Passo 3

Abrindo essa segunda integral:

∫ 0 π x   f s e n   x   d x = π ∫ 0 π f s e n   x   d x - ∫ 0 π x   f s e n   x   d x

Note que a mesma integral apareceu novamente: vamos passar ela para o outro lado:

∫ 0 π x   f s e n   x   d x + ∫ 0 π x   f s e n   x   d x = π   ∫ 0 π f s e n   x   d x

Assim,

2 ∫ 0 π x   f s e n   x   d x = π ∫ 0 π f s e n   x   d x

Por fim,

∫ 0 π x   f s e n   x   d x = π 2   ∫ 0 π f s e n   x   d x

Resposta

Demonstração.

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t) ∫ π 3 π 2 s e n 3 x d x
7- Calcule.n) ∫ - 1 1 x 3 x 2 + 3 10 d x
e) ∫ - 1 0 x 2 e x 3d x
m)∫ 0 1 x 2 x + 1 2d x
s) ∫ π 3 π 2 s e n x s e n 2 xd x