Enunciado

Esse problema ilustra o fato de que o autovalor pode aparecer tanto nas condições de contorno quanto na equação diferencial. Considere as vibrações longitudinais de uma barra elástica reta uniforme, de comprimento L . Pode-se mostrar que o deslocamento axial u ( x ,   t ) satisfaz a equação diferencial parcial

E ρ   u x x = u t t ;       0 < x < L ,   t > 0

em que E é o módulo de Young e ρ é a massa por unidade de volume. Se a extremidade em x   =   0 estiver fixa, então a condição de contorno aí será

u 0 , t = 0 ,       t > 0

Suponha que a extremidade em x   =   L está rigidamente presa a uma massa m, mas não tem outras restrições. Podemos obter a condição de contorno aí escrevendo a lei de Newton para a massa. Da teoria de elasticidade, pode-se mostrar que a força exercida na barra pela massa é dada por – E A u x ( L ,   t ) . Logo, a condição de contorno é

E A u x L , t + m u t t L , t = 0 ,       t > 0

( a ) Suponha que u x , t = X x T ( t ) . Mostre que X ( x ) e T ( t ) satisfazem equações diferenciais

X ' ' + λ X = 0

T ' ' + λ E ρ T = 0

( b ) Mostre que as condições de contorno são

X 0 = 0 ,       X ' L - γ λ L X L = 0

em que γ   =   m / ρ A L é um parâmetro adimensional que fornece a razão entre a massa presa e a massa da barra.

Sugestão: Use a equação diferencial para T ( t ) para simplificar a condição de contorno em x   =   L .

c Determine a forma das autofunções e a equação satisfeita pelos autovalores reais das E q s .   ( i v )   e   ( v i ) .

( d ) Encontre os dois primeiros autovalores λ 1 e λ 2 se γ   =   0,5 .

Passo 1

Pela equação diferencial dada no enunciado e pela igualdade de suas derivadas segundas nós podemos dizer que:

E ρ u x x = u t t

E como u = X T , logo:

E ρ X ' ' T = X T ' '

Agora se dizermos que X ' ' X = - λ , pois as condições de contorno seguem as condições da teoria de Sturm-Liouville, então nós teremos que:

X ' ' X = ρ E T ' ' T = - λ  

Tal como feito nas primeiras páginas desse capítulo até.

Então:

X ' ' + λ X = 0

E

ρ T ' ' = - λ E T

T ' ' + λ E ρ T = 0

Passo 2

Vamos considerar como condição inicial

u L , 0 = f x ,       0 ≤ x ≤ L

Então pela condição de contorno dada inicialmente teremos:

E A u x L , t + m u t t L , t = 0

Onde E ρ   u x x = u t t .

E Considerando que X 0 = 0 , pela condição u 0 , t = 0 , teremos:

E A X ' L , t T + m E ρ X ' ' L , t T = 0

Em linhas gerais a equação será:

X ' L , t + m ρ A X ' ' L , t = 0

Só que X ' ' X = - λ logo:

X ' L , t - m λ ρ A X L , t = 0

Como estamos interessados apenas na variação do comprimento então podemos ignorar t , e multiplicando L em cima e embaixo na parcela de X ( t ) teremos:

X ' L - m λ L ρ A L X L = 0

Onde é dito que γ   =   m / ρ A L , logo:

X ' L - γ λ L X L = 0

Passo 3

Como X ' ' + λ X = 0

Então a solução para autovalores reais será:

X = c 1 s e n   λ   x + c 2 cos ⁡ λ x

Aplicando a condição X 0 = 0 , nós teremos que c 2 = 0 , nos dando uma autofunção igual a:

ϕ n = s e n λ n x

Agora para X ' L - γ λ L X L = 0

Temos:

X ' = λ   c 1 cos ⁡ λ x

Em x = L :

λ   c 1 cos ⁡ λ L - m ρ A L λ L c 1 s e n   λ L = 0

λ cos ⁡ λ L - m λ ρ A s e n λ L = 0

Dividimos tudo por λ também.

cos ⁡ λ L - m λ ρ A   s e n λ L = 0

Isolando λ teremos:

Fazendo ρ = m A L teremos:

cos ⁡ λ L - L λ   s e n λ L = 0

Passo 4

Como γ   =   0,5 , então:

γ   = m ρ A L = 0.5

Então a equação de contorno:

X ' L - 0.5 λ L X L = 0

Nos deixando com uma relação para λ igual a:

λ   c 1 cos ⁡ λ L - 0.5 λ L c 1 s e n   λ L = 0

cos ⁡ λ L - 0.5 λ   L s e n   λ L = 0

λ L = 2   c o t ⁡ ( λ L )

Plotando os gráficos de y 1 = λ L e y 2 = 2   c o t ⁡ ( λ L ) , nós chegamos

Para L = 1 teremos o seguinte gráfico:

E para L = 2

Para L = 3

Os valores de λ L na horizontal estarão seguindo a ordem de:

λ 1 = 1.16 L 2 ; λ 2 = 13.276 L 2

Provar isso analiticamente pode ser um tanto complicado.

Resposta

c )   ϕ n = s e n λ n x

Em que:

cos ⁡ λ L - L λ   s e n λ L = 0

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