Enunciado

Nos problemas 5-8, verifique que a função indicada é uma solução para a equação diferencial dada.

y ' ' ' - 2 y ' ' - y ' + 2 y = 6 ;   y = c 1 e x + c 2 e - x + c 3 e 2 x + 3

Passo 1

Precisamos comprovar que y = c 1 e x + c 2 e - x + c 3 e 2 x + 3 é uma solução da equação diferencial y ' ' ' - 2 y ' ' - y ' + 2 y = 6

Primeiramente, vamos substituir y por y = c 1 e x + c 2 e - x + c 3 e 2 x + 3 na nossa equação e verificar que a igualdade é verdadeira.

( c 1 e x + c 2 e - x + c 3 e 2 x + 3 ) ' ' ' - 2 c 1 e x + c 2 e - x + c 3 e 2 x + 3 ' ' - c 1 e x + c 2 e - x + c 3 e 2 x + 3 ' + 2 ( c 1 e x + c 2 e - x + c 3 e 2 x + 3 ) = 6

Usando as técnicas de derivação lá de cálculo 1, sabemos que a primeira derivada de y vale:

c 1 e x + c 2 e - x + c 3 e 2 x + 3   ' = c 1 . e x - c 2 . e - x + 2 c 3 . e 2 x

Enquanto a segunda derivada vale:

c 1 . e x - c 2 . e - x + 2 c 3 . e 2 x ' = c 1 . e x + c 2 . e - x + 4 c 3 . e 2 x

E por fim, a terceira derivada:

c 1 . e x + c 2 . e - x + 4 c 3 . e 2 x ' = c 1 . e x - c 2 . e - x + 8 c 3 . e 2 x

Agora é só a gente substituir essas derivadas na equação, beleza?

Passo 2

Vamos substituir as derivadas que encontramos na equação diferencial:

c 1 . e x - c 2 . e - x + 8 c 3 . e 2 x - 2 ( c 1 . e x + c 2 . e - x + 4 c 3 . e 2 x ) - ( c 1 . e x - c 2 . e - x + 2 c 3 . e 2 x ) + 2 ( c 1 e x + c 2 e - x + c 3 e 2 x + 3 ) = 6

Fazendo as distributivas das multiplicações e dos sinais:

c 1 . e x - c 2 . e - x + 8 c 3 . e 2 x - 2 c 1 . e x - 2 c 2 . e - x - 8 c 3 . e 2 x - c 1 . e x + c 2 . e - x - 2 c 3 . e 2 x + 2 c 1 e x + 2 c 2 e - x + 2 c 3 e 2 x + 6 = 6

Juntando os termos:

c 1 . e x - 2 c 1 . e x - c 1 . e x + 2 c 1 e x - c 2 . e - x - 2 c 2 . e - x + c 2 . e - x + 2 c 2 e - x + 8 c 3 . e 2 x - 8 c 3 . e 2 x + 2 c 3 . e 2 x - 2 c 3 e 2 x + 6 = 6

E aí olha que beleza, dá pra cancelar tudoo:

6 = 6

Ta aí, a igualdade é verdadeira, então aquele y é solução da equação mesmo hehe

Resposta

D e m o n s t r a ç ã o

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Nos problemas 9-16, determine, por inspeção, pelo menos uma solução para a equação diferencial dada. y ' ' = y