Enunciado

Nos problemas 5-8, verifique que a função indicada é uma solução para a equação diferencial dada.

y ' ' ' - 2 y ' ' - y ' + 2 y = 6 ;   y = c 1 e x + c 2 e - x + c 3 e 2 x + 3

Passo 1

Precisamos comprovar que y = c 1 e x + c 2 e - x + c 3 e 2 x + 3 é uma solução da equação diferencial y ' ' ' - 2 y ' ' - y ' + 2 y = 6

Primeiramente, vamos substituir y por y = c 1 e x + c 2 e - x + c 3 e 2 x + 3 na nossa equação e verificar que a igualdade é verdadeira.

( c 1 e x + c 2 e - x + c 3 e 2 x + 3 ) ' ' ' - 2 c 1 e x + c 2 e - x + c 3 e 2 x + 3 ' ' - c 1 e x + c 2 e - x + c 3 e 2 x + 3 ' + 2 ( c 1 e x + c 2 e - x + c 3 e 2 x + 3 ) = 6

Usando as técnicas de derivação lá de cálculo 1, sabemos que a primeira derivada de y vale:

c 1 e x + c 2 e - x + c 3 e 2 x + 3   ' = c 1 . e x - c 2 . e - x + 2 c 3 . e 2 x

Enquanto a segunda derivada vale:

c 1 . e x - c 2 . e - x + 2 c 3 . e 2 x ' = c 1 . e x + c 2 . e - x + 4 c 3 . e 2 x

E por fim, a terceira derivada:

c 1 . e x + c 2 . e - x + 4 c 3 . e 2 x ' = c 1 . e x - c 2 . e - x + 8 c 3 . e 2 x

Agora é só a gente substituir essas derivadas na equação, beleza?

Passo 2

Vamos substituir as derivadas que encontramos na equação diferencial:

c 1 . e x - c 2 . e - x + 8 c 3 . e 2 x - 2 ( c 1 . e x + c 2 . e - x + 4 c 3 . e 2 x ) - ( c 1 . e x - c 2 . e - x + 2 c 3 . e 2 x ) + 2 ( c 1 e x + c 2 e - x + c 3 e 2 x + 3 ) = 6

Fazendo as distributivas das multiplicações e dos sinais:

c 1 . e x - c 2 . e - x + 8 c 3 . e 2 x - 2 c 1 . e x - 2 c 2 . e - x - 8 c 3 . e 2 x - c 1 . e x + c 2 . e - x - 2 c 3 . e 2 x + 2 c 1 e x + 2 c 2 e - x + 2 c 3 e 2 x + 6 = 6

Juntando os termos:

c 1 . e x - 2 c 1 . e x - c 1 . e x + 2 c 1 e x - c 2 . e - x - 2 c 2 . e - x + c 2 . e - x + 2 c 2 e - x + 8 c 3 . e 2 x - 8 c 3 . e 2 x + 2 c 3 . e 2 x - 2 c 3 e 2 x + 6 = 6

E aí olha que beleza, dá pra cancelar tudoo:

6 = 6

Ta aí, a igualdade é verdadeira, então aquele y é solução da equação mesmo hehe

Resposta

D e m o n s t r a ç ã o

Exercícios de Livros Relacionados

Nos problemas 11-40, verifique se a função dada é uma solução para a equação diferencial. ( c 1 e   c 2 são constantes). x d 2 y d x 2 + 2 d y d x = 0 ;       y = c 1 + c 2 x - 1
Nos problemas 11-40, verifique se a função dada é uma solução para a equação diferencial. ( c 1 e   c 2 são constantes). x 2 y ' ' - x y ' + 2 y = 0 ;     y = x cos ⁡ ln ⁡ x ,     ...
Nos problemas 11-40, verifique se a função dada é uma solução para a equação diferencial. ( c 1 e   c 2 são constantes). y ' ' + y ' - 12 y = 0 ;     y = c 1 e 3 x + c 2 e - 4 x
Nos problemas 11-40, verifique se a função dada é uma solução para a equação diferencial. ( c 1 e   c 2 são constantes). y ' ' - 6 y ' + 13 y = 0 ;     y = e 3 x cos ⁡ 2 x
Nos problemas 11-40, verifique se a função dada é uma solução para a equação diferencial. ( c 1 e   c 2 são constantes). d y d x - 2 y = e 3 x ;     y = e 3 x + 10 e 2 x
Nos problemas 11-40, verifique se a função dada é uma solução para a equação diferencial. ( c 1 e   c 2 são constantes). y ' + y = sen ⁡ x ;     y = 1 2 sen ⁡ x - 1 2 cos ⁡ x + 10 ...
Nos problemas 11-40, verifique se a função dada é uma solução para a equação diferencial. ( c 1 e   c 2 são constantes). y = 2 x y ' + y y ' 2 ;     y 2 = c 1 x + 1 4 c 1
Nos problemas 11-40, verifique se a função dada é uma solução para a equação diferencial. ( c 1 e   c 2 são constantes). d y d x = y x ;       y = x + c 1 2 ,   x > 0 ,   c 1 &g...
Nos problemas 11-40, verifique se a função dada é uma solução para a equação diferencial. ( c 1 e   c 2 são constantes). y ' + 4 y = 32 ;   y = 8
Nos problemas 11-40, verifique se a função dada é uma solução para a equação diferencial. ( c 1 e   c 2 são constantes). y ' = 25 + y 2 ;     y = 5 tg ⁡ 5 x
Verifique se a função definida por partes é uma solução para a equação diferencial dada: y ' 2 = 9 x y ;       y = 0 ,     s e     x < 0   x 3 ,                   s e   x ≥ 0
Nos problemas 11-40, verifique se a função dada é uma solução para a equação diferencial. ( c 1 e   c 2 são constantes). 2 x y   d x + x 2 + 2 y d y = 0 ;     x 2 y + y 2 = c 1