Enunciado

Nos problemas 11-30, resolva a equação diferencial dada usando uma substituição apropriada.

d y d x = y - x y + x

Passo 1

Olá, tudo bem?

Olha só, nesses casos a gente sempre faz uma substituição para transformar a equação em uma equação diferencial separável. Esse livro apresenta duas substituições possíveis: y = u x     e     x = v y .

Geralmente a gente usa a x = v y quando a parte M ( x , y ) (a que acompanha o d x ) é mais simples do que N   ( x , y ) , do contrário, usamos y = u x .

Primeiro vamos escrever dessa forma aqui:

y + x d y = y - x d x

Bom, aqui dá no mesmo, então vamos fazer y = u x .

Passo 2

Vamos lá, se y = u x , temos d y = u   d x + x   d u . Vamos substituir isso na nossa equação então...

u x + x u   d x + x   d u = u x - x d x

u 2 x   d x + u x 2 d u + u x   d x + x 2 d u = u x   d x - x   d x

u 2 x   d x + u x 2 d u + x 2 d u = - x   d x

u 2 d x + u x   d u + x   d u = - d x

x   d u u + 1 =   d x - u 2 - 1

u + 1 - u 2 - 1 d u = d x x

Temos uma EDO separável agora (que já está separada haha), só precisamos integrar os dois lados...

Passo 3

Integrando, ficamos com:

∫ u + 1 - u 2 - 1 = ∫ d x x

- 1 2 ln ⁡ u 2 + 1 - a r c t g   u = ln ⁡ x + C

Como y = u x , temos u = y x :

- 1 2 ln ⁡ y x 2 + 1 - a r c t g   y x = ln ⁡ x + C

1 2 ln ⁡ y 2 + x 2 x 2 + a r c t g   y x + ln ⁡ | x | = C

E pronto! Equação resolvida😊

Resposta

1 2 ln ⁡ y 2 + x 2 x 2 + a r c t g   y x + ln ⁡ | x | = C

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