Enunciado

Nos problemas 1-10, determine se a função dada é homogênea. Especifique o grau de homogeneidade quando for o caso.

ln ⁡ x 2 - 2 ln ⁡ y

Passo 1

E aí, tudo bem?

É o seguinte: pra uma função ser homogênea, a gente precisa que aconteça isso aqui:

f t x ,   t y = t n f ( x , y )

E aí o grau de homogeneidade é dado pelo expoente n , ok?

Bora ver isso na nossa então!

Passo 2

Nossa função é:

f x , y = ln ⁡ x 2 - 2 ln ⁡ y

Então...

f t x , t y = ln ⁡ t x 2 - 2 ln ⁡ ( t y )

Aplicando as regrinhas de logaritmo...

f t x , t y = 2 ln ⁡ t x - 2 ln ⁡ t y

f t x , t y = 2 ln ⁡ t + 2 ln ⁡ x - 2 ln ⁡ t - 2 ln ⁡ y

f t x ,   t y = ln ⁡ x 2 - 2 ln ⁡ y

Opa! Então a gente tem que:

f t x ,   t y = t 0 f ( x , y )

Então nossa função é homogênea de grau 0 😉

Resposta

Homogênea, de grau 0.

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