Enunciado

Nos problemas 1-10, determine se a função dada é homogênea. Especifique o grau de homogeneidade quando for o caso.

ln ⁡ x 3 ln ⁡ y 3

Passo 1

E aí, tudo bem?

É o seguinte: pra uma função ser homogênea, a gente precisa que aconteça isso aqui:

f t x ,   t y = t n f ( x , y )

E aí o grau de homogeneidade é dado pelo expoente n , ok?

Bora ver isso na nossa então!

Passo 2

Nossa função é:

f x , y = ln ⁡ x 3 ln ⁡ y 3

Então...

f t x , t y = ln ⁡ ( t x ) 3 ln ⁡ ( t y ) 3

f t x , t y = 3 ln ⁡ t x 3 ln ⁡ t y

f t x , t y = ln ⁡ t x ln ⁡ t y

f t x , t y =   ln ⁡ t + ln ⁡ x ln ⁡ t + ln ⁡ y

Hmmmm... a gente não conseguiu escrever essa função como:

f t x ,   t y = t n f ( x , y )

Daqui então a gente conclui que ela não é homogênea!

Resposta

Não homogênea.

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