Enunciado

Nos problemas 31-44, resolva a equação diferencial dada sujeita à condição inicial indicada.

x 2 + 2 y 2 d x = x y   d y ,     y - 1 = 1

Passo 1

Opa, tudo beleza? Bora resolver essa equação!

Olha só, nesses casos a gente sempre faz uma substituição para transformar a equação em uma equação diferencial separável. A gente pode fazer y = u x     o u     x = v y .

Geralmente a gente usa a x = v y quando a parte M ( x , y ) (a que acompanha o d x ) é mais simples do que N   ( x , y ) , do contrário, usamos y = u x .

Olhando nossa equação...

x 2 + 2 y 2 d x = x y   d y

Vemos que a parte N ( x , y ) é mais simples, então vamos usar a substituição y = u x .

Passo 2

Vamos lá, se y = u x , temos d y = u   d x + x   d u . Vamos substituir isso na nossa equação então...

x 2 + 2 u 2 x 2 d x = u x 2 ( u   d x + x   d u )

x 2 d x + 2 u 2 x 2 d x = u 2 x 2 d x + u x 3 d u

x 2 d x + u 2 x 2 d x = u x 3 d u

d x + u 2 d x = u x   d u

d x 1 + u 2 = u x   d u

d x x = u 1 + u 2 d u

Temos uma EDO separável agora (que já está separada haha), só precisamos integrar os dois lados...

Passo 3

Integrando, ficamos com:

∫ d x x = ∫ u u 2 + 1 d u

ln ⁡ x = 1 2 ln ⁡ u 2 + 1 + C

ln ⁡ | x | - ln ⁡ u 2 + 1 1 2 = C

ln ⁡ x u 2 + 1 1 2 = e C  

x u 2 + 1 1 2 = C 1

x 2 u 2 + 1 = C 2

x 2 = C 2 u 2 + 1

Como y = u x , temos u = y x :

x 2 = C 2 y 2 x 2 + 1

Bom, chegamos a solução geral, mas a gente tem um problema de valor inicial, então temos que usar pra descobrir esse C 2 aí...

Passo 4

Bom, temos que y - 1 = 1 , então vamos substituir isso na equação:

x 2 = C 2 y 2 x 2 + 1

- 1 2 = C 2 1 2 - 1 2 + 1

1 = C 2 1 + 1

1 = 2 C 2

C 2 = 1 2

Então a solução da equação é:

x 2 = 1 2 y 2 x 2 + 1

Prontinho! 😉

Resposta

x 2 = 1 2 y 2 x 2 + 1

Exercícios de Livros Relacionados

Nos problemas 11-30, resolva a equação diferencial dada usando uma substituição apropriada. x 2 + x y - y 2 d x + x y   d y = 0
Nos problemas 11-30, resolva a equação diferencial dada usando uma substituição apropriada. d y d x = y x + x 2 y 2 + 1
Nos problemas 11-30, resolva a equação diferencial dada usando uma substituição apropriada. d y d x = x + 3 y 3 x + y
Nos problemas 1-10, determine se a função dada é homogênea. Especifique o grau de homogeneidade quando for o caso. x + y + 1 2
Seja f ( x , y ) uma função homogênea de grau n . Mostre que: x ∂ f ∂ x + y ∂ f ∂ y = n f
Nos problemas 11-30, resolva a equação diferencial dada usando uma substituição apropriada. y 2 + y x d x + x 2 d y = 0
Nos problemas 11-30, resolva a equação diferencial dada usando uma substituição apropriada. d y d x = y - x y + x
Nos problemas 31-44, resolva a equação diferencial dada sujeita à condição inicial indicada. x + y 2 d x = x   d y ;     y 1 = 0  
Nos problemas 11-30, resolva a equação diferencial dada usando uma substituição apropriada. x   d x + ( y - 2 x )   d y = 0
Nos problemas 31-44, resolva a equação diferencial dada sujeita à condição inicial indicada. y 2 + 3 x y d x = 4 x 2 + x y d y ;     y 1 = 1
Nos problemas 1-10, determine se a função dada é homogênea. Especifique o grau de homogeneidade quando for o caso. ln ⁡ x 3 ln ⁡ y 3
Nos problemas 11-30, resolva a equação diferencial dada usando uma substituição apropriada. x d y d x - y = x 2 + y 2