Enunciado

Nos problemas 11-30, resolva a equação diferencial dada usando uma substituição apropriada.

x + y d x + x   d y = 0

Passo 1

Olá, tudo bem?

Olha só, nesses casos a gente sempre faz uma substituição para transformar a equação em uma equação diferencial separável. Esse livro apresenta duas substituições possíveis: y = u x     e     x = v y .

Geralmente a gente usa a x = v y quando a parte M ( x , y ) (a que acompanha o d x ) é mais simples do que N   ( x , y ) , do contrário, usamos y = u x .

Bom, olhando pra nossa equação...

x + y d x + x   d y = 0

Vemos que a parte N ( x , y ) é mais simples, então vamos usar a substituição y = u x .

Passo 2

Vamos lá, se y = u x , temos d y = u   d x + x   d u . Vamos substituir isso na nossa equação então...

x + y d x + x   d y = 0

x + u x d x + x u   d x + x   d u = 0

x   d x + u x   d x + x u   d x + x 2 d u = 0

x   d x + 2 u x   d x + x 2 d u = 0

d x + 2 u   d x + x   d u = 0

1 + 2 u d x = - x   d u

- d x x = d u 1 + 2 u

Temos uma EDO separável agora, só precisamos integrar os dois lados...

Passo 3

Integrando, ficamos com:

∫ - d x x = ∫ d u 1 + 2 u

- ln ⁡ x = 1 2 ln ⁡ 1 + 2 u + C

Como y = u x , temos u = y x :

- ln ⁡ | x | = 1 2 ln ⁡ 1 + 2 y x + C

Podemos reescrever como:

ln ⁡ x + 2 y x 1 2 x = C

= e ln ⁡ x + 2 y x 1 2 x = e C

= x + 2 y x 1 2 x = C 1

x + 2 y x ⋅ x 2 = C 2  

x 2 + 2 x y = C 2

E pronto! Equação resolvida😊

Resposta

x 2 + 2 x y = C 2

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