Enunciado

Nos problemas 11-30, resolva a equação diferencial dada usando uma substituição apropriada.

y + c o t g y x d x - x   d y = 0

Passo 1

Olá, tudo bem?

Olha só, nesses casos a gente sempre faz uma substituição para transformar a equação em uma equação diferencial separável. Esse livro apresenta duas substituições possíveis: y = u x     e     x = v y .

Geralmente a gente usa a x = v y quando a parte M ( x , y ) (a que acompanha o d x ) é mais simples do que N   ( x , y ) , do contrário, usamos y = u x .

Olhando nossa equação...

y + c o t g y x d x - x   d y = 0

Vemos que a parte N ( x , y ) é mais simples, então vamos usar a substituição y = u x .

Passo 2

Vamos lá, se y = u x , temos d y = u   d x + x   d u . Vamos substituir isso na nossa equação então...

y + c o t g y x d x - x   d y = 0

u x + c o t g u x x d x - x u   d x + x d u = 0

u x   d x + c o t g   u   d x - u x   d x - x 2 d u = 0

c o t g   u   d x = x 2 d u

d x x 2 = d u c o t g   u

Temos uma EDO separável agora (que já está separada haha), só precisamos integrar os dois lados...

Passo 3

Integrando, ficamos com:

∫ d x x 2 d x = ∫ d u c o t g   u = ∫ tg ⁡ u   d u

- 1 x = ln ⁡ cos ⁡ u + C

Como y = u x , temos u = y x :

1 x + ln ⁡ cos ⁡ y x = C

E pronto! Equação resolvida😊

Resposta

1 x + ln ⁡ cos ⁡ y x = C

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Nos problemas 11-30, resolva a equação diferencial dada usando uma substituição apropriada. y 2 + y x d x + x 2 d y = 0