Enunciado

Nos Problemas 1-26, resolva a equação diferencial dada usando uma substituição apropriada.

y ' ' = 1 + y ' 2

Passo 1

Fala aí, tudo beleza?

Olha, a gente tem que fazer uma substituição nessa EDO aqui:

y ' ' = 1 + y ' 2

Pra transformar ela em algo que a gente saiba resolver...

A gente tem que tentar diminuir a ordem dessa EDO, pra isso, vamos fazer:

u = y '

Passo 2

Bom, se u = y ' , temos:

u ' = y ' '

Substituindo isso na EDO, temos:

u ' = 1 + u 2

d u d x = 1 + u 2

d u = 1 + u 2 d x

d u 1 + u 2 = d x

Show! Chegamos a uma equação com variáveis já separadas. Só temos que resolver agora...

Passo 3

Vamos integrar os dois lados:

∫ d u 1 + u 2   = ∫ d x

a r c t g   u = x + C

u = tg ⁡ ( x + C )

E como u = y ' , temos:

y ' = tg ⁡ ( x + C )

Aí vamos integrar novamente...

Passo 4

Temos que:

y = ∫ tg ⁡ ( x + C )   d x

y =   - ln ⁡ ( cos ⁡ x + C ) + C 2

E agora sim, terminamos! 😉

Resposta

y =   - ln ⁡ ( cos ⁡ x + C ) + C 2

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