Enunciado

Nos problemas 11-30, resolva a equação diferencial dada usando uma substituição apropriada.

x 4 + y 4 d x - 2 x 3 y   d y = 0

Passo 1

Olá, tudo bem?

Olha só, nesses casos a gente sempre faz uma substituição para transformar a equação em uma equação diferencial separável. Esse livro apresenta duas substituições possíveis: y = u x     e     x = v y .

Geralmente a gente usa a x = v y quando a parte M ( x , y ) (a que acompanha o d x ) é mais simples do que N   ( x , y ) , do contrário, usamos y = u x .

Bom, olhando pra nossa equação...

x 4 + y 4 d x - 2 x 3 y   d y = 0

Vemos que a parte N ( x , y ) é mais simples, então vamos usar a substituição y = u x .

Passo 2

Vamos lá, se y = u x , temos d y = u   d x + x   d u . Vamos substituir isso na nossa equação então...

x 4 + y 4 d x - 2 x 3 y   d y = 0

x 4 + u 4 y 4 d x - 2 x 4 u u   d x + x   d u = 0

x 4 d x + u 4 x 4 d x - 2 x 4 u 2 d x - 2 x 5 u   d u = 0

x 4 d x 1 + u 4 - 2 u 2 = 2 x 5   u   d u

x 4   d x   u 2 - 1 2 = 2 x 5 u   d u

x 4 x 5 d x =   2 u u 2 - 1 2   d u

1 x d x = 2 u u 2 - 1 2   d u

Temos uma EDO separável agora (que já está separada haha), só precisamos integrar os dois lados...

Passo 3

Integrando, ficamos com:

∫ 1 x d x = ∫ 2 u u 2 - 1 2   d u

ln ⁡ | x | =   - 1 u 2 - 1 + C

Como y = u x , temos u = y x :

ln ⁡ | x | =   - 1 y 2 x 2 - 1 + C

ln ⁡ | x | =   - x 2 y 2 - 1 + C

E pronto! Equação resolvida😊

Resposta

ln ⁡ | x | =   - x 2 y 2 - 1 + C

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