Enunciado

Nos problemas 11-30, resolva a equação diferencial dada usando uma substituição apropriada.

d y d x = y x ln ⁡ y x

Passo 1

Olá, tudo bem?

Olha só, nesses casos a gente sempre faz uma substituição para transformar a equação em uma equação diferencial separável. Esse livro apresenta duas substituições possíveis: y = u x     e     x = v y .

Geralmente a gente usa a x = v y quando a parte M ( x , y ) (a que acompanha o d x ) é mais simples do que N   ( x , y ) , do contrário, usamos y = u x .

Olhando nossa equação...

x   d y = y ln ⁡ y x   d x

Vemos que a parte N ( x , y ) é mais simples, então vamos usar a substituição y = u x .

Passo 2

Vamos lá, se y = u x , temos d y = u   d x + x   d u . Vamos substituir isso na nossa equação então...

x   d y = y ln ⁡ y x   d x

x   u   d x + x   d u = u x ln ⁡ u   d x

u x   d x + x 2 d u = u x ln ⁡ u   d x

u   d x + x   d u = u ln ⁡ u   d x

x   d u = u ln ⁡ u - u d x

d u u ln ⁡ u - u = d x x

Temos uma EDO separável agora (que já está separada haha), só precisamos integrar os dois lados...

Passo 3

Integrando, ficamos com:

∫ d x x = ∫ d u u ln ⁡ u - 1

ln ⁡ | x | = ln ⁡ | ln ⁡ u - 1 | + C

ln ⁡ x ln ⁡ u - 1 = C

x ln ⁡ u - 1 = C 1

x = C 1 ln ⁡ u - 1

Como y = u x , temos u = y x :

x = C 1 ln ⁡ y x - 1

E pronto! Equação resolvida😊

Resposta

x = C 1 ln ⁡ y x - 1

Exercícios de Livros Relacionados

Nos problemas 11-30, resolva a equação diferencial dada usando uma substituição apropriada. x 2 + x y - y 2 d x + x y   d y = 0
Nos problemas 11-30, resolva a equação diferencial dada usando uma substituição apropriada. d y d x = y x + x 2 y 2 + 1
Nos problemas 11-30, resolva a equação diferencial dada usando uma substituição apropriada. d y d x = x + 3 y 3 x + y
Nos problemas 1-10, determine se a função dada é homogênea. Especifique o grau de homogeneidade quando for o caso. x + y + 1 2
Seja f ( x , y ) uma função homogênea de grau n . Mostre que: x ∂ f ∂ x + y ∂ f ∂ y = n f
Nos problemas 11-30, resolva a equação diferencial dada usando uma substituição apropriada. y 2 + y x d x + x 2 d y = 0
Nos problemas 11-30, resolva a equação diferencial dada usando uma substituição apropriada. d y d x = y - x y + x
Nos problemas 31-44, resolva a equação diferencial dada sujeita à condição inicial indicada. x + y 2 d x = x   d y ;     y 1 = 0  
Nos problemas 11-30, resolva a equação diferencial dada usando uma substituição apropriada. x   d x + ( y - 2 x )   d y = 0
Nos problemas 31-44, resolva a equação diferencial dada sujeita à condição inicial indicada. y 2 + 3 x y d x = 4 x 2 + x y d y ;     y 1 = 1
Nos problemas 1-10, determine se a função dada é homogênea. Especifique o grau de homogeneidade quando for o caso. ln ⁡ x 3 ln ⁡ y 3
Nos problemas 11-30, resolva a equação diferencial dada usando uma substituição apropriada. x d y d x - y = x 2 + y 2