Resolva(x^2 + 4) dy/dx = 2x - 8xy sujeito a y(0) = -1.

Passo 1

Opa! Tudo beleza?

Bora resolver essa equação aí?

x 2 + 4 d y d x = 2 x - 8 x y

Dividindo tudo por x 2 + 4 , temos:

d y d x = 2 x - 8 x y x 2 + 4

d y d x + 8 x y x 2 + 4 = 2 x x 2 + 4

E essa é uma equação linear! Bora resolver!

Passo 2

Vamos lá, a solução de uma equação linear é:

y = e - ∫ p x d x ∫ e ∫ p x d x q x   d x

Onde no nosso caso temos:

p x = 8 x x 2 + 4

q x = 2 x x 2 + 4

Substituindo, ficamos com:

y = e - ∫ 8 x x 2 + 4   d x ∫ e ∫ 8 x x 2 + 4   d x ⋅ 2 x x 2 + 4   d x

y = e - 4 ln ⁡ | x 2 + 4 | ∫ e 4 ln ⁡ x 2 + 4 ⋅ 2 x x 2 + 4   d x

y = 1 x 2 + 4 4 ∫ x 2 + 4 4 2 x x 2 + 4   d x

y = 1 x 2 + 4 4 ∫ 2 x   x 2 + 4 3     d x  

y = 1 x 2 + 4 4 1 4 x 2 + 4 4 + C

y = 1 4 + C x 2 + 4 4

Passo 3

E agora vamos encontrar o C , usando o valor inicial y 0 = - 1 :

- 1 = 1 4 + C 4 4

- 1 - 1 4 = C 256

- 5 4 = C 256

C = - 320

Então a solução do nosso PVI é:

y = 1 4 - 320 x 2 + 4 4

Resposta

y = 1 4 - 320 x 2 + 4 4

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