Enunciado

Nos Problemas 1-26, encontre as trajetórias ortogonais da família de curvas dada.

y = x 1 + c 1 . x

Passo 1

E aí, beleza?? Vamos lá resolver mais uma!!

Queremos as trajetórias ortogonais da família de curvas dada por   y = x 1 + c 1 . x , né?

A gente viu que pra encontrar as trajetórias ortogonais, primeiro vamos encontrar a equação diferencial d y d x = f ( x , y ) , e aí a equação diferencial da família ortogonal vai ser

d y d x = - 1 f ( x , y )

Aí é só resolver pra encontrarmos as trajetórias ortogonais, vamos lá então?

Passo 2

Vamos começar encontrando a equação diferencial d y d x = f ( x , y ) , para isso, vamos derivar a função dada no enunciado:

y = x 1 + c 1 . x     ( I )

Usando a regra do quociente:

d y d x = 1 . 1 + c 1 x - x . ( c 1 ) ( 1 + c 1 . x ) ²

d y d x = 1 + c 1 x - c 1 x ( 1 + c 1 . x ) ²

d y d x = 1 ( 1 + c 1 . x ) ²       ( I I )

Vamos isolar o c 1 na equação ( I ) , só pra aí a gente poder substituir na equação ( I I )

y = x 1 + c 1 . x

y . 1 + c 1 . x = x

y + c 1 . x . y = x

c 1 . x . y = x - y

c 1 = x - y x y

Belezinha, vamos substituir esse c 1 na equação ( I I ) então

d y d x = 1 1 + x - y x y . x 2

d y d x = 1 y y + x - y y 2

d y d x = 1 x y 2

d y d x = 1 x 2 y 2

Então, a equação diferencial da família dada é:

d y d x = y 2 x 2

Passo 3

Agora que temos a equação diferencial da família dada, podemos encontrar a equação diferencial da família ortogonal simplesmente invertendo, igual vimos lá no passo 1. Olha, temos

d y d x = y 2 x 2

Se invertermos o lado direito e acrescentarmos um sinal de menos, temos a equação diferencial da família ortogonal:

d y d x = - x 2 y 2

Agora é só resolvermos essa equação diferencial :P

Passo 4

Temos

d y d x = - x 2 y 2

Multiplicando em cruz:

y ²   d y = - x ²   d x

Integrando dos dois lados:

∫ y ²   d y = - ∫ x ²   d x

y 3 3 + c 2 = - x 3 3 + c 3

Podemos juntar c 2 e c 3 e formar uma nova constante c 4

y 3 3 = - x 3 3 + c 4

Então, multiplicando tudo por 3 mandando tudo pra um lado só, temos que as trajetórias ortogonais são descritas assim:

y 3 + x ³ = c 4

Resposta

y 3 + x ³ = c 4

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