Enunciado

Nos Problemas 1-26, encontre as trajetórias ortogonais da família de curvas dada.

4 y + x 2 + 1 + c 1 . e 2 y = 0

Passo 1

Vamos pra mais uma

Queremos as trajetórias ortogonais da família de curvas dada por   4 y + x 2 + 1 + c 1 . e 2 y = 0 , né?

A gente viu que pra encontrar as trajetórias ortogonais, primeiro vamos encontrar a equação diferencial d y d x = f ( x , y ) , e aí a equação diferencial da família ortogonal vai ser

d y d x = - 1 f ( x , y )

Aí é só resolver pra encontrarmos as trajetórias ortogonais, vamos lá então?

Passo 2

Vamos começar encontrando a equação diferencial d y d x = f ( x , y ) , para isso, vamos derivar a função dada no enunciado:

4 y + x 2 + 1 + c 1 . e 2 y = 0   ( I )

Usando a regra da cadeia:

4 d y d x + 2 x + c 1 . 2 . e 2 y d y d x = 0

d y d x . 4 + 2 c 1 . e 2 y = - 2 x

d y d x = - 2 x 4 + 2 c 1 . e 2 y

d y d x = - x 2 + c 1 . e 2 y     ( I I )

Vamos isolar o c 1 na equação ( I ) , só pra aí a gente poder substituir na equação ( I I )

4 y + x 2 + 1 + c 1 . e 2 y = 0  

c 1 . e 2 y = - 4 y - x 2 - 1

c 1 = - 4 y - x 2 - 1 e 2 y

Belezinha, vamos substituir esse c 1 na equação ( I I ) então

d y d x = - x 2 + - 4 y - x 2 - 1 e 2 y . e 2 y

d y d x = - x 2 - 4 y - x 2 - 1

Então, a equação diferencial da família dada é

d y d x = - x - 4 y - x 2 + 1

d y d x = x 4 y + x 2 - 1

Passo 3

Agora que temos a equação diferencial da família dada, podemos encontrar a equação diferencial da família ortogonal simplesmente invertendo, igual vimos lá no passo 1. Olha, temos

d y d x = x 4 y + x 2 - 1

Se invertermos o lado direito e acrescentarmos um sinal de menos, temos a equação diferencial da família ortogonal:

d y d x = - 4 y + x 2 - 1 x

d y d x = - 4 x y - x + 1 x

Agora é só resolvermos essa equação diferencial :P

Passo 4

Temos

d y d x = - 4 x y - x + 1 x   ( I I I )

Temos uma EDO linear, porque ela pode ser escrita no formato d y d x + A x . y = B ( x ) , olha:

d y d x + 4 x . y = - x + 1 x     ( I V )

Vimos que a solução de uma equação diferencial linear é dada por:

y x = 1 I x ∫ I x . B x   d x + c     ( V )

Onde I x = e ∫ A x   d x

Na nossa equação ( I V ) , temos A x = 4 x e B x = - x + 1 x então:

I x = e ∫ 4 x   d x

I x = e 4 l n ⁡ | x |

I x = x 4

Então esse é o nosso fator de integração

Passo 5

Agora que temos o fator de integração, vamos substituir o que temos na expressão ( V ) :

y x = 1 x 4 ∫ x 4 . - x + 1 x   d x + c  

y x = 1 x 4 ∫ - x 5 + x ³   d x + c

y x = 1 x 4 - x 6 6 + x 4 4 + c

Então, a solução da EDO, e consequentemente as trajetórias ortogonais, são dadas por

y = - x 2 6 + 1 4 + c x 4

Resposta

y = - x 2 6 + 1 4 + c x 4

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