Enunciado

Nos Problemas 1-26, resolva a equação diferencial dada usando uma substituição apropriada.

x 4 y 2 y ' + x 3 y 3 = 2 x 3 - 3

Passo 1

Fala aí, tudo beleza?

Olha, a gente tem que fazer uma substituição nessa EDO aqui:

x 4 y 2 y ' + x 3 y 3 = 2 x 3 - 3

Pra transformar ela em algo que a gente saiba resolver...

Vamos tentar transformar ela numa equação separável...

Vamos fazer u = x 3 y 3 ...

Passo 2

Bom, se u = x 3 y 3 , temos:

y 3 = u x 3

d u d x = 3 x 2 y 3 + 3 y 2 x 3 d y d x  

d y d x = d u d x - 3 x 2 y 3 3 y 2 x 3

Substituindo isso na nossa EDO...

x 4 y 2 y ' + x 3 y 3 = 2 x 3 - 3

x 4 y 2 d u d x - 3 x 2 y 3 3 y 2 x 3 + u = 2 x 3 - 3

x 3 d u d x - 3 x 2 y 3 = 2 x 3 - 3

x 3 u ' - u + u = 2 x 3 - 3

x 3 d u d x = 2 x 3 - 3

x   d u = 6 x 3 - 9 d x

d u = 6 x 3 - 9 x   d x  

Show! Chegamos a uma equação com variáveis já separadas. Só temos que resolver agora...

Passo 3

Vamos integrar os dois lados:

∫ 6 x 3 - 9 x   d x = ∫   d u

2 x 3 - 9 ln ⁡ | x | = u + C

E como u = x 3 y 3 , temos:

2 x 3 - 9 ln ⁡ x - x 3 y 3 = C

E terminamos por aqui😉

Resposta

2 x 3 - 9 ln ⁡ x - x 3 y 3 = C

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