Enunciado

Nos Problemas 1-26, resolva a equação diferencial dada usando uma substituição apropriada.

2 x csc ⁡ 2 y d y d x = 2 x - ln ⁡ ( tg ⁡ y )

Passo 1

Fala aí, tudo beleza?

Olha, a gente tem que fazer uma substituição nessa EDO aqui:

2 x csc ⁡ 2 y d y d x = 2 x - ln ⁡ ( tg ⁡ y )

Pra transformar ela em algo que a gente saiba resolver...

Um bom palpite aqui é que ela pode se transformar numa equação linear, mas pra isso a gente precisa que somente termos em função de x acompanhe os termos de y .

E se a gente fizer u = ln ⁡ ( tg ⁡ y ) ?

Passo 2

Bom, derivando u = ln ( ⁡ tg ⁡ y ) a gente tem:

d u d x = 2 csc ⁡ 2 x d y d x

E aí substituindo isso na nossa equação temos:

2 x csc ⁡ 2 y d y d x = 2 x - ln ⁡ ( tg ⁡ y )

x d u d x = 2 x - u

x d u d x + u = 2 x

d u d x + u x = 2

E essa é uma equação linear, em u . Vamos resolvê-la!

Passo 3

Vamos lá, a solução de uma equação linear é:

u = e - ∫ p x d x ∫ e ∫ p x d x q x   d x

Onde no nosso caso temos:

p x = 1 x

q x = 2

Substituindo, ficamos com:

u = e - ∫ 1 x   d x ∫ e ∫ 1 x   d x ⋅ 2   d x

u = e - ln ⁡ x ∫ e ln ⁡ x ⋅ 2   d x

u = 1 x   x 2 + C

u = x + C x  

E aí é só voltar para y ...

ln ⁡ ( tg ⁡ y ) = x + C x  

E terminamos por aqui😉

Resposta

ln ⁡ ( tg ⁡ y ) = x + C x  

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