Enunciado

Nos Problemas 1-26, resolva a equação diferencial dada usando uma substituição apropriada.

y ' - x y ' ' - y ' ' 3 = 1

Passo 1

Fala aí, tudo beleza?

Olha, a gente tem que fazer uma substituição nessa EDO aqui:

y ' - x y ' ' - y ' ' 3 = 1

(tem um errinho no enunciado, que coloca um x antes do y ' , mas aí não dá pra resolver, então desconsidera ele...)

Pra transformar ela em algo que a gente saiba resolver...

A gente tem que tentar diminuir a ordem dessa EDO, pra isso, vamos fazer:

u = y '

Passo 2

Bom, se u = y ' , temos:

u ' = y ' '

Substituindo isso na EDO, temos:

y ' - x y ' ' - y ' ' 3 = 1

u - x u ' - u ' 3 = 1

u = 1 + x u ' + u ' 3

Essa é uma equação de Clairaut, pra facilitar, vamos escrever u ' = p :

u = 1 + x p + p 3

Passo 3

Derivando...

u ' = p + x d p d x + 3 p 2 d p d x

p = p + x d p d x + 3 p 2 d p d x

x d p d x + 3 p 2 d p d x = 0

d p d x x + 3 p 2 = 0

Passo 4

Agora perceba que para esse produto zerar, precisamos que:

d p d x = 0

ou

x + 3 p 2 = 0

Da primeira opção, temos que:

p = C

E daí teremos uma solução:

u = 1 + C x + C 3

E como u = y ' , temos:

y ' = 1 + C x + C 3

y = ∫ 1 + C x + C 3   d x

y = x + C x 2 2 + C 3 x + C 2

É uma família de soluções. Vamos ver o outro caso...

Passo 5

E da segunda, temos que montar o seguinte:

x = - 3 p 2 u = 1 + x p + p 3

Substituindo a primeira na segunda, temos:

u = 1 - 3 p 3 + p 3

u = 1 - 2 p 3

Agora colocando em x :

u = 1 - 2 - x 3 3 2

E como u = y ' , temos:

y ' = 1 - 2 - x 3 3 2

y = ∫ 1 - 2 - x 3 3 2   d x

y = x + 4 45 x 2 3 x

E terminamos por aqui! 😉

Resposta

y = x + C x 2 2 + C 3 x + C 2

e

y = x + 4 45 x 2 3 x

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