Enunciado

Nos Problemas 1-26, resolva a equação diferencial dada usando uma substituição apropriada.

d y d x + x + y + 1 = x + y 2 e 3 x

Passo 1

Fala aí, tudo beleza?

Olha, a gente tem que fazer uma substituição nessa EDO aqui:

d y d x + x + y + 1 = x + y 2 e 3 x

Pra transformar ela em algo que a gente saiba resolver...

Vamos tentar fazer u = x + y , já que é um termo que está se repetindo ali na EDO. Como vai ficar?

Passo 2

Bom, se u = x + y   , temos:

d u d x = 1 + d y d x

E aí nossa equação vai ficar:

d y d x + x + y + 1 = x + y 2 e 3 x

d u d x - 1 + u + 1 = u 2 e 3 x

d u d x + u = u 2 e 3 x

E essa é uma equação de Bernoulli, lembra dela? Vamos resolver...

Passo 3

Pra resolver uma equação de Bernoulli, usamos a substituição:

w = u 1 - n

E no nosso caso, n = 2 , temos:

w = u - 1 → u = 1 w

d w d x =   - u - 2 d u d x

d u d x = - u 2 d w d x

d u d x = - 1 w 2 d w d x

Substituindo na nossa:

d u d x + u = u 2 e 3 x

- 1 w 2 d w d x + 1 w = 1 w 2 e 3 x

d w d x - w = - e 3 x

Passo 4

Agora chegamos a uma equação linear, vamos resolver, lembrando que a solução é da forma:

w = e - ∫ p x d x ∫ e ∫ p x d x q x   d x

Onde no nosso caso temos:

p x = - 1

q x = - e 3 x

w = e - ∫ - 1   d x ∫ e ∫ - 1   d x - e 3 x   d x

w = e x   ∫ - e - x e 3 x   d x

w = e x ∫ - e 2 x   d x

w = e x - 1 2 e 2 x + C

w = - 1 2 e 3 x + C e x

w = - e 3 x + c 1 e x 2

Passo 5

Agora só falta voltar para nossa variável inicial! Voltando primeiro para u .

Lembrando que:

w = 1 u

u = - 2 e 3 x + c 1 e x

E agora voltando para x   e   y , lembrando que:

u = x + y

Temos a solução:

x + y = - 2 e 3 x + c 1 e x

y = - 2 e 3 x + c 1 e x - x

Resposta

y = - 2 e 3 x + c 1 e x - x

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