Enunciado

Nos Problemas 1-26, resolva a equação diferencial dada usando uma substituição apropriada.

2 y y ' + x 2 + y 2 + x = 0

Passo 1

Fala aí, tudo beleza?

Olha, a gente tem que fazer uma substituição nessa EDO aqui:

2 y y ' + x 2 + y 2 + x = 0

Pra transformar ela em algo que a gente saiba resolver...

Um bom palpite aqui é que ela pode se transformar numa equação linear, mas pra isso a gente precisa que somente termos em função de x acompanhe os termos de y .

E se a gente fizer u = y 2 ?

Passo 2

Bom, derivando u = y 2 a gente tem:

u ' = 2 y y '

E aí substituindo isso na nossa equação temos:

2 y y ' + x 2 + y 2 + x = 0

u ' + x 2 + u + x = 0

u ' + u = - x 2 - x

E essa é uma equação linear, em u . Vamos resolvê-la!

Passo 3

Vamos lá, a solução de uma equação linear é:

u = e - ∫ p x d x ∫ e ∫ p x d x q x   d x

Onde no nosso caso temos:

p x = 1

q x = - x 2 - x

Substituindo, ficamos com:

u = e - ∫ 1   d x ∫ e ∫ 1   d x ⋅ ( - x 2 - x )   d x

u = e - x ∫ e x - x 2 - x d x

u = e - x - e x x 2 + e x x - e x + C

u = - x 2 + x - 1 + C e - x

E aí é só voltar para y ...

y 2 = - x 2 + x - 1 + C e - x

E terminamos por aqui😉

Resposta

y 2 = - x 2 + x - 1 + C e - x

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