Enunciado

As equações de Lotka e Volterra:

d y d t = y α - β x

d x d t = x - γ + δ y

Em que α ,   β ,   γ   e   δ são constantes positivas, ocorrem na análise do equilíbrio biológico de duas espécies de animais, tais como predador e presa (por exemplo, raposas e coelhos). Aqui, x t e y t denotam as populações das duas espécies no tempo t . Embora não exista nenhuma solução explícita para esse sistema, soluções podem ser encontradas relacionando as duas populações em qualquer tempo. Divida a primeira equação pela segunda e resolva a equação diferencial não-linear de primeira ordem resultante.

Passo 1

Então pessoal, aqui o enunciado nos dá duas equações diferenciais, que são:

d y d t = y α - β x

d x d t = x - γ + δ y

E ele pede para resolvermos d y d x dividindo a primeira pela segunda, saca só:

d y d x = y α - β x x - γ + δ y

Isolando as variáveis, teremos:

- γ + δ y y d y = α - β x x d x

E então só precisamos integrar e resolver isso aí!

Passo 2

Simplificando e integrando, teremos:

- γ ∫ d y y + δ ∫ d y = α ∫ d x x - β ∫ d x

Para o lado esquerdo temos o seguinte:

- γ ∫ d y y + δ ∫ d y = δ y - γ ln ⁡ y + c 1

E para o lado direito teremos:

α ∫ d x x - β ∫ d x = α ln ⁡ x - β x + c 2

Unindo os resultados, teremos:

δ y - γ ln ⁡ y = α ln ⁡ x - β x + c

Como não conseguimos simplificar muito mais que isso, vamos ficar com esse resultado, tudo bem? Então está aí nossa resolução! 😉

Resposta

δ y - γ ln ⁡ y = α ln ⁡ x - β x + c

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

A equação diferencial: x d x d y 2 + 2 y . d x d y = x Em que x = x y , ocorre no estudo da óptica. A equação descreve o tipo de curva plana que refletirá todo raio de luz incidente para o mesmo ponto
No exemplo 7 da seção 1.2, vimos que a equação diferencial que descreve a forma de um fio de densidade linear constante w suspenso sob a ação do próprio peso é: d 2 y d x 2 = w T 1 1 + d y d x 2 Em qu
Uma equação semelhante a do problema 12 é: x . d 2 y d x 2 = v 1 v 2 1 + d y d x 2 Neste caso, a equação surge no estudo da forma do caminho que um perseguidor, correndo a uma velocidade v 2 , deve pe
Dois compostos químicos A e B são combinados para formar um terceiro composto C . A taxa ou velocidade da reação é proporcional à quantidade instantânea de A e B não convertida em C . Inicialmente, há
23. O problema de valor inicial que descreve o movimento de um pêndulo simples com velocidade inicial e ângulo inicial θ 00 é: d 2 θ d t 2 + g l s e nθ = 0 θ 0 = θ 0 ,d θ d t t = 0 = 0 a) Obtenha a eq