Enunciado

Nos Problemas 1-26, resolva a equação diferencial dada usando uma substituição apropriada.

x 2 y ' ' + y ' 2 = 0

Passo 1

Fala aí, tudo beleza?

Olha, a gente tem que fazer uma substituição nessa EDO aqui:

x 2 y ' ' + y ' 2 = 0

Pra transformar ela em algo que a gente saiba resolver...

A gente tem que tentar diminuir a ordem dessa EDO, pra isso, vamos fazer:

u = y '

Passo 2

Bom, se u = y ' , temos:

u ' = y ' '

Substituindo isso na EDO, temos:

x 2 u ' + u 2 = 0

x 2 d u d x = - u 2

x 2   d u =   - u 2 d x

- d u u 2 = d x x 2

Show! Chegamos a uma equação com variáveis já separadas. Só temos que resolver agora...

Passo 3

Vamos integrar os dois lados:

∫ - d u u 2   = ∫ d x x 2

1 u =   - 1 x + C

1 u = - 1 + C x x

u = x C x - 1

E como u = y ' , temos:

y ' = x C x - 1

Aí vamos integrar novamente...

Passo 4

Temos que:

y = ∫ x C x - 1   d x

y = 1 C 2 C x - 1 + ln ⁡ C x - 1 + C 2

E agora sim, terminamos! 😉

Resposta

y = 1 C 2 C x - 1 + ln ⁡ C x - 1 + C 2

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