Enunciado

Nos problemas 1-40, encontre a solução geral para a equação diferencial dada. Especifique um intervalo no qual a solução geral é definida.

y ' + 3 x 2 y = x ²

Passo 1

Bom galera vamos lá matar mais um exercício

Temos aqui uma equação diferencial linear, porque ela pode ser escrita no formato d y d x + A x . y = B ( x ) , olha:

y ' + 3 x 2 y = x ²

d y d x + 3 x 2 y = x ²     ( I )

Vimos que a solução de uma equação diferencial linear é dada por:

y x = 1 I x ∫ I x . B x   d x + c     ( I I )

Onde I x = e ∫ A x   d x

Na nossa equação ( I ) , temos A x = 3 x ² e B x = x ² então:

I x = e ∫ 3 x ²   d x

I x = e x ³

Belezinha, já temos o nosso fator de integração

Passo 2

Agora que temos o fator de integração, vamos substituir o que temos na expressão ( I I ) :

y x = 1 e x ³ ∫ e x 3 . x ²   d x + c     ( I I I )

Vamos resolver a integral separadamente, temos

∫ e x 3 . x ²   d x

Chamando u = x ³ , temos d u = 3 x ² , então:

∫ e x 3 . x ²   d x = 1 3 ∫ e u   d u

∫ e x 3 . x ²   d x = e u 3

Então:

∫ e x 3 . x ²   d x = e x ³ 3

Substituindo em ( I I I ) :

y x = 1 e x ³ e x ³ 3 + c

y x = 1 3 + c e x ³

Sendo que não temos restrição nenhuma em x :

- ∞ < x < ∞

Boaaa, foi mais fácil do que parecia né?

Resposta

y x = 1 3 + c e x ³

- ∞ < x < ∞

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