Enunciado

Nos problemas 55-58, encontre uma solução contínua satisfazendo cada equação diferencial e a condição inicial dada.

58. 1 + x 2 . d y d x + 2 x y = f x ,   f x = x ,   0 ≤ x < 1 - x ,   x ≥ 1 , no qual y 0 = 0 .

Passo 1

Então pessoal, para esses problemas da seção 2.5 precisamos lembrar de algumas coisinhas, ok? Essa equação diferencial que nos foi dada é uma equação diferencial linear. O formato dessa equação é esse aqui:

d y d x + P . y = Q

No qual P e Q são funções APENAS de x . Caso a função não esteja escrita nesse formato, devemos manipular a equação a fim de deixa-la nesse formato padrão, belê? Show! O lado bom é que esse tipo de equação tem uma solução geral padrão, que é:

y = e - ∫ P d x . ∫ e ∫ P d x . Q d x + c

Eu sei, parece assustador essa solução, não é? Prometo que é só impressão!

Sendo assim, o que precisamos fazer é definir quem é P e quem é Q e depois resolver essas integrais. Então mãos a obra!

Passo 2

O problema que surge aqui é que f x dependerá do valor de x , certo? Sendo assim, precisaremos resolver DUAS equações diferenciais, uma para cada intervalo dado. O primeiro intervalo é para 0 ≤ x < 1 . Nesse caso f x = x , logo:

1 + x 2 . d y d x + 2 x y = f x = Q x

1 + x 2 . d y d x + 2 x y = x

d y d x + 2 x x 2 + 1 y = x x 2 + 1

E então tiramos que:

P x = 2 x x 2 + 1

Q x = x x 2 + 1

Show!

Passo 3

Agora que encontramos P e Q vamos substituir na nossa solução geral:

y = e - ∫ 2 x x 2 + 1 d x . ∫ e ∫ 2 x x 2 + 1 d x . x x 2 + 1 d x + c

Resolvendo a integral do expoente:

∫ 2 x x 2 + 1 d x = 2 ∫ x x 2 + 1 d x

Para resolver essa integral temos que fazer uma substituição simples, saca só:

u = x 2 + 1

d u = 2 x d x

Substituindo, teremos:

∫ d u u = ln ⁡ u

Voltando para x :

∫ 2 x x 2 + 1 d x = ln ⁡ x 2 + 1

Substituindo na solução:

y = e - ln ⁡ x 2 + 1 . ∫ e ln ⁡ x 2 + 1 . x x 2 + 1 d x + c

y = 1 x 2 + 1 . ∫ x 2 + 1 . x x 2 + 1 d x + c

y = 1 x 2 + 1 . ∫ x d x + c

Agora precisamos resolver essa última integral que aparece aí na solução. Temos que:

∫ x d x = x 2 2

Substituindo, teremos:

y = 1 x 2 + 1 . x 2 2 + c

∴ y = x 2 2 x 2 + 1 + c 1 x 2 + 1

Esse é o resultado para 0 ≤ x < 1 , beleza? Top!

Passo 4

O segundo intervalo é para x ≥ 1 . Nesse caso f x = - x , logo:

1 + x 2 . d y d x + 2 x y = f x = Q x

1 + x 2 . d y d x + 2 x y = - x

d y d x + 2 x x 2 + 1 y = - x x 2 + 1

E então tiramos que:

P x = 2 x x 2 + 1

Q x = - x x 2 + 1

Show!

Passo 5

Agora que encontramos P e Q vamos substituir na nossa solução geral:

y = e - ∫ 2 x x 2 + 1 d x . - ∫ e ∫ 2 x x 2 + 1 d x . x x 2 + 1 d x + c

Resolvendo a integral do expoente:

∫ 2 x x 2 + 1 d x = 2 ∫ x x 2 + 1 d x

Para resolver essa integral temos que fazer uma substituição simples, saca só:

u = x 2 + 1

d u = 2 x d x

Substituindo, teremos:

∫ d u u = ln ⁡ u

Voltando para x :

∫ 2 x x 2 + 1 d x = ln ⁡ x 2 + 1

Substituindo na solução:

y = e - ln ⁡ x 2 + 1 . - ∫ e ln ⁡ x 2 + 1 . x x 2 + 1 d x + c

y = 1 x 2 + 1 . - ∫ x 2 + 1 . x x 2 + 1 d x + c

y = 1 x 2 + 1 . - ∫ x d x + c

Agora precisamos resolver essa última integral que aparece aí na solução. Temos que:

∫ x d x = x 2 2

Substituindo, teremos:

y = 1 x 2 + 1 . - x 2 2 + c

∴ y = - x 2 2 x 2 + 1 + c 2 x 2 + 1

Esse é o resultado para x ≥ 1 , beleza? Top!

Passo 6

Para resumirmos, temos como resultado o seguinte:

y = x 2 2 x 2 + 1 + c 1 x 2 + 1 ,   0 ≤ x < 1 - x 2 2 x 2 + 1 + c 2 x 2 + 1 , x ≥ 1  

No entanto a questão nos dá uma condição inicial, que é y 0 = 0 . Para a primeira constante, teremos:

0 = 0 + c 1 0 + 1

∴ c 1 = 0

Agora para c 2 teremos que aplicar x = 1 igualando os dois resultados de y , já que descobrimos c 1 . Saca só:

- x 2 2 x 2 + 1 + c 2 x 2 + 1 = x 2 2 x 2 + 1 + 0

- 1 2.2 + c 2 2 = 1 2.2

c 2 2 = 1 2

∴ c 2 = 1

E agora que encontramos c 1 e c 2 podemos resumir nosso resultado final (AMÉM) da seguinte forma:

y = x 2 2 x 2 + 1 ,   0 ≤ x < 1 - x 2 2 x 2 + 1 + 1 x 2 + 1 , x ≥ 1  

OBS: Note que omitimos a constante arbitrária c em todas as integrações que fizemos, mas isso só ocorre porque a constante já aparece na nossa solução geral, tudo bem? 😉

Resposta

y = x 2 2 x 2 + 1 ,   0 ≤ x < 1 - x 2 2 x 2 + 1 + 1 x 2 + 1 , x ≥ 1  

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