Enunciado

Nos problemas 41-54, resolva a equação diferencial dada sujeita à condição inicial indicada.

54. c o s 2 x . d y d x + y = 1 , no qual y 0 = - 3 .

Passo 1

Então pessoal, para esses problemas da seção 2.5 precisamos lembrar de algumas coisinhas, ok? Essa equação diferencial que nos foi dada é uma equação diferencial linear. O formato dessa equação é esse aqui:

d y d x + P . y = Q

No qual P e Q são funções APENAS de x . Caso a função não esteja escrita nesse formato, devemos manipular a equação a fim de deixa-la nesse formato padrão, belê? Show! O lado bom é que esse tipo de equação tem uma solução geral padrão, que é:

y = e - ∫ P d x . ∫ e ∫ P d x . Q d x + c

Eu sei, parece assustador essa solução, não é? Prometo que é só impressão!

Sendo assim, o que precisamos fazer é definir quem é P e quem é Q e depois resolver essas integrais. Então mãos a obra!

Passo 2

A equação que nos foi dada é:

c o s 2 x . d y d x + y = 1

Como queremos escrever no formato:

d y d x + P . y = Q

Teremos:

d y d x + 1 c o s 2 x y = 1 c o s 2 x

d y d x + s e c 2 x . y = s e c 2 x

E então tiramos que:

P x = s e c 2 x

Q x = s e c 2 x

Show!

Passo 3

Agora que encontramos P e Q vamos substituir na nossa solução geral:

y = e - ∫ P d x . ∫ e ∫ P d x . Q d x + c

y = e - ∫ s e c 2 x d x . ∫ e ∫ s e c 2 x d x . s e c 2 x d x + c

Para as integrais dos expoentes, teremos:

∫ s e c 2 x d x = tan ⁡ x

Substituindo:

y = e - tan ⁡ x . ∫ e tan ⁡ x . s e c 2 x d x + c

Beleza! Resolvemos as integrais dos expoentes e simplificamos tudo. Agora que fizemos isso vamos para o último passo (AMÉM)!

Passo 4

O último passo da nossa resolução consiste em, obviamente, resolver essa última integral que aparece aí para complicar nossa vida. A integral é:

∫ e tan ⁡ x . s e c 2 x d x

Para resolve-la basta fazermos uma substituição simples, saca só:

u = tan ⁡ x

d u = s e c 2 x d x

Substituindo, teremos:

∫ e u d u = e u

Voltando para x :

∫ e tan ⁡ x . s e c 2 x d x = e tan ⁡ x

Passo 5

Agora que resolvemos todas as integrais que aparecem no problema (EU SEI, É CANSATIVO), basta substituirmos os resultados na solução geral:

y = e - tan ⁡ x . e tan ⁡ x + c

y = 1 + c e tan ⁡ x

E está aí nosso resultado! No entanto não acaba por aqui, pois a questão nos dá uma condição inicial para descobrirmos c , não é mesmo? A condição é y 0 = - 3 , então se aplicarmos esse ponto, teremos:

- 3 = 1 + c e tan ⁡ 0

- 3 = 1 + c 1

∴ c = - 4

E então o resultado final mesmo será esse:

y = 1 - 4 e tan ⁡ x

OBS: Note que omitimos a constante arbitrária c em todas as integrações que fizemos, mas isso só ocorre porque a constante já aparece na nossa solução geral, tudo bem? Se não aparecesse, precisaríamos colocar todas as constantes, mas ainda bem que não precisamos, não é? hahaha! 😉

Resposta

y = 1 - 4 e tan ⁡ x

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Calcule d x d t = x t + t , t0
Calcule d x d t = x sin ⁡ t
Calcule d y d x = y ln ⁡ x , t0
Calcule d y d x = - 2 y + cos ⁡ 2 x , t0
Suponha E ,ReC constantes não nulas. Resolva a equação. R d Q d t = Q C