Enunciado

Nos problemas 1-40, encontre a solução geral para a equação diferencial dada. Especifique um intervalo no qual a solução geral é definida.

39. y ' = 10 - y cosh ⁡ x

Passo 1

Então pessoal, para esses problemas da seção 2.5 precisamos lembrar de algumas coisinhas, ok? Essa equação diferencial que nos foi dada é uma equação diferencial linear. O formato dessa equação é esse aqui:

d y d x + P . y = Q

No qual P e Q são funções APENAS de x . Caso a função não esteja escrita nesse formato, devemos manipular a equação a fim de deixa-la nesse formato padrão, belê? Show! O lado bom é que esse tipo de equação tem uma solução geral padrão, que é:

y = e - ∫ P d x . ∫ e ∫ P d x . Q d x + c

Eu sei, parece assustador essa solução, não é? Prometo que é só impressão!

Sendo assim, o que precisamos fazer é definir quem é P e quem é Q e depois resolver essas integrais. Então mãos a obra!

Passo 2

A equação que nos foi dada é:

y ' = 10 - y cosh ⁡ x

Como queremos escrever no formato:

d y d x + P x . y = Q x

Então teremos:

d y d x = 10 cosh ⁡ x - cosh ⁡ x . y

d y d x + cosh ⁡ x . y = 10 cosh ⁡ x

E então tiramos que:

P x = cosh ⁡ x

Q x = 10 cosh ⁡ x

Show!

Passo 3

Agora que encontramos P e Q vamos substituir na nossa solução geral:

y = e - ∫ P d x . ∫ e ∫ P d x . Q d x + c

y = e - ∫ cosh ⁡ x d x . 10 ∫ e ∫ cosh ⁡ x d x . cosh ⁡ x d x + c

Para as integrais dos expoentes, teremos:

∫ cosh ⁡ x d x = s e n h   x

Substituindo:

y = e - s e n h   x . 10 ∫ e s e n h   x . cosh ⁡ x d x + c

Beleza! Resolvemos as integrais dos expoentes e simplificamos tudo. Agora que fizemos isso vamos para o último passo (AMÉM)!

Passo 4

O último passo da nossa resolução consiste em, obviamente, resolver essa última integral que aparece aí para complicar nossa vida. A integral é:

∫ e s e n h   x . cosh ⁡ x d x

Para resolve-la devemos fazer uma substituição simples, ok? A substituição será:

u = s e n h   x

d u = cosh ⁡ x d x

Substituindo, teremos:

∫ e u d u = e u

Voltando para a variável x :

∫ e s e n h   x . cosh ⁡ x d x = e s e n h   x

Ok, integral resolvida!

Passo 5

Agora que resolvemos todas as integrais que aparecem no problema (EU SEI, É CANSATIVO), basta substituirmos os resultados na solução geral:

y = e - s e n h   x . 10 ∫ e s e n h   x . cosh ⁡ x d x + c

y = e - s e n h   x . 10 e s e n h   x + c

∴ y = 10 + c e s e n h   x

E está aí nosso resultado!

OBS: Note que omitimos a constante arbitrária c em todas as integrações que fizemos, mas isso só ocorre porque a constante já aparece na nossa solução geral, tudo bem? Se não aparecesse, precisaríamos colocar todas as constantes, mas ainda bem que não precisamos, não é? hahaha! 😉

Resposta

y = 10 + c e s e n h   x

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