Enunciado

Nos problemas 1-40, encontre a solução geral para a equação diferencial dada. Especifique um intervalo no qual a solução geral é definida.

38. x 2 - 1 . d y d x + 2 y = x + 1 2

Passo 1

Então pessoal, para esses problemas da seção 2.5 precisamos lembrar de algumas coisinhas, ok? Essa equação diferencial que nos foi dada é uma equação diferencial linear. O formato dessa equação é esse aqui:

d y d x + P . y = Q

No qual P e Q são funções APENAS de x . Caso a função não esteja escrita nesse formato, devemos manipular a equação a fim de deixa-la nesse formato padrão, belê? Show! O lado bom é que esse tipo de equação tem uma solução geral padrão, que é:

y = e - ∫ P d x . ∫ e ∫ P d x . Q d x + c

Eu sei, parece assustador essa solução, não é? Prometo que é só impressão!

Sendo assim, o que precisamos fazer é definir quem é P e quem é Q e depois resolver essas integrais. Então mãos a obra!

Passo 2

A equação que nos foi dada é:

x 2 - 1 . d y d x + 2 y = x + 1 2

Como queremos escrever no formato:

d y d x + P x . y = Q x

Então teremos:

d y d x + 2 y x 2 - 1 = x + 1 2 x 2 - 1

Como x 2 - 1 2 = x + 1 . x - 1 , então:

d y d x + 2 x 2 - 1 y = x + 1 2 x + 1 . x - 1

d y d x + 2 x 2 - 1 y = x + 1 x - 1

E então tiramos que:

P x = 2 x 2 - 1

Q x = x + 1 x - 1

Show!

Passo 3

Agora que encontramos P e Q vamos substituir na nossa solução geral:

y = e - ∫ P d x . ∫ e ∫ P d x . Q d x + c

y = e - ∫ 2 x 2 - 1 d x . ∫ e ∫ 2 x 2 - 1 d x . x + 1 x - 1 d x + c

Para as integrais dos expoentes, teremos:

∫ 2 x 2 - 1 d x = 2 ∫ d x x 2 - 1 2

A solução dessa integral é bastante conhecida e tabelada, galera! O resultado dela é o seguinte:

∫ d u u 2 - a 2 = 1 2 a ln ⁡ u - a u + a + c

Como u = x e a = 1 , então:

2 ∫ d x x 2 - 1 2 = ln ⁡ x - 1 x + 1

Substituindo:

y = e - ln ⁡ x - 1 x + 1 . ∫ e ln ⁡ x - 1 x + 1 . x + 1 x - 1 d x + c

Utilizando essa propriedade de logaritmos:

e ln ⁡ x = x

Teremos:

y = x - 1 x + 1 - 1 . ∫ x - 1 x + 1 . x + 1 x - 1 d x + c

y = x + 1 x - 1 . ∫ d x + c

Beleza! Resolvemos as integrais dos expoentes e simplificamos tudo. Agora que fizemos isso vamos para o último passo (AMÉM)!

Passo 4

O último passo da nossa resolução consiste em, obviamente, resolver essa última integral que aparece aí para complicar nossa vida. A integral é:

∫ d x

O resultado dessa integral não é segredo pra ninguém, certo? Teremos:

∫ d x = x

Agora que resolvemos todas as integrais que aparecem no problema (EU SEI, É CANSATIVO), basta substituirmos os resultados na solução geral:

y = x + 1 x - 1 . x + c

∴ y = x x + 1 x - 1 + c x + 1 x - 1

E está aí nosso resultado!

OBS: Note que omitimos a constante arbitrária c em todas as integrações que fizemos, mas isso só ocorre porque a constante já aparece na nossa solução geral, tudo bem? Se não aparecesse, precisaríamos colocar todas as constantes, mas ainda bem que não precisamos, não é? hahaha! 😉

Resposta

y = x x + 1 x - 1 + c x + 1 x - 1

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