Enunciado

Nos problemas 1-40, encontre a solução geral para a equação diferencial dada. Especifique um intervalo no qual a solução geral é definida.

40. d x = 3 e y - 2 x d y

Passo 1

Então pessoal, para esses problemas da seção 2.5 precisamos lembrar de algumas coisinhas, ok? Essa equação diferencial que nos foi dada é uma equação diferencial linear. O formato dessa equação é esse aqui:

d y d x + P . y = Q

No qual P e Q são funções APENAS de x . Caso a função não esteja escrita nesse formato, devemos manipular a equação a fim de deixa-la nesse formato padrão, belê? Show! O lado bom é que esse tipo de equação tem uma solução geral padrão, que é:

y = e - ∫ P d x . ∫ e ∫ P d x . Q d x + c

Eu sei, parece assustador essa solução, não é? Prometo que é só impressão!

Sendo assim, o que precisamos fazer é definir quem é P e quem é Q e depois resolver essas integrais. Então mãos a obra!

Passo 2

A equação que nos foi dada é:

d x = 3 e y - 2 x d y

Escrever no formato do passo 1 parece bem complicado para essa equação. Uma alternativa boa é inverter tudo, ou seja, encontrarmos d x d y ao invés de d y d x e fazer P y e Q y ao invés de P x e Q x . Manipulando nossa equação, teremos:

d x d y + 2 x = 3 e y

E então tiramos que:

P y = 2

Q y = 3 e y

Show!

Passo 3

Agora que encontramos P e Q vamos substituir na nossa solução geral:

y = e - ∫ P d x . ∫ e ∫ P d x . Q d x + c

Como invertemos, teremos que calcular:

x = e - ∫ P d y . ∫ e ∫ P d y . Q d y + c

x = e - ∫ 2 d y . ∫ e ∫ 2 d y . 3 e y d y + c

Para as integrais dos expoentes, teremos:

∫ 2 d y = 2 y

Substituindo:

x = e - 2 y . 3 ∫ e 2 y . e y d y + c

Simplificando:

x = e - 2 y . 3 ∫ e 3 y d y + c

Beleza! Resolvemos as integrais dos expoentes e simplificamos tudo. Agora que fizemos isso vamos para o último passo (AMÉM)!

Passo 4

O último passo da nossa resolução consiste em, obviamente, resolver essa última integral que aparece aí para complicar nossa vida. A integral é:

∫ e 3 y d y

Para resolve-la precisamos fazer uma substituição simples, saca só:

u = 3 y

d u = 3 d y

Substituindo, teremos:

1 3 ∫ e u d u = 1 3 e u

Voltando para y :

∫ e 3 y d y = 1 3 e 3 y

Passo 5

Agora que resolvemos todas as integrais que aparecem no problema (EU SEI, É CANSATIVO), basta substituirmos os resultados na solução geral:

x = e - 2 y . 3 ∫ e 3 y d y + c

x = e - 2 y . e 3 y + c

∴ x = e y + c e - 2 y

E está aí nosso resultado!

OBS: Note que omitimos a constante arbitrária c em todas as integrações que fizemos, mas isso só ocorre porque a constante já aparece na nossa solução geral, tudo bem? Se não aparecesse, precisaríamos colocar todas as constantes, mas ainda bem que não precisamos, não é? hahaha! 😉

Resposta

x = e y + c e - 2 y

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