Enunciado

Nos problemas 1-40, encontre a solução geral para a equação diferencial dada. Especifique um intervalo no qual a solução geral é definida.

36. d P d t + 2 t P = P + 4 t - 2

Passo 1

Então pessoal, para esses problemas da seção 2.5 precisamos lembrar de algumas coisinhas, ok? Essa equação diferencial que nos foi dada é uma equação diferencial linear. O formato dessa equação é esse aqui:

d P d t + R . P = Q

No qual R e Q são funções APENAS de t . Caso a função não esteja escrita nesse formato, devemos manipular a equação a fim de deixa-la nesse formato padrão, belê? Show! O lado bom é que esse tipo de equação tem uma solução geral padrão, que é:

P = e - ∫ R d t . ∫ e ∫ R d t . Q d t + c

Eu sei, parece assustador essa solução, não é? Prometo que é só impressão!

Sendo assim, o que precisamos fazer é definir quem é R e quem é Q e depois resolver essas integrais. Então mãos a obra!

Passo 2

A equação que nos foi dada é:

d P d t + 2 t P = P + 4 t - 2

Como queremos escrever no formato:

d P d t + R . P = Q

Então teremos:

d P d t + 2 t P - P = 4 t - 2

d P d t + 2 t - 1 P = 4 t - 2

E então tiramos que:

R t = 2 t - 1

Q t = 4 t - 2

Show!

Passo 3

Agora que encontramos P e Q vamos substituir na nossa solução geral:

P = e - ∫ R d t . ∫ e ∫ R d t . Q d t + c

P = e - ∫ ( 2 t - 1 ) d t . ∫ e ∫ 2 t - 1 d t . 4 t - 2 d t + c

Para as integrais dos expoentes, teremos:

∫ 2 t - 1 d t = 2 ∫ t d t - ∫ d t

Usando a regra básica de integração, teremos:

2 ∫ t d t - ∫ d t = 2 t 2 2 - t = t 2 - t

Substituindo:

P = e - t 2 - t ∫ e t 2 - t . 4 t - 2 d t + c

Simplificando:

P = e - t 2 - t 2 ∫ e t 2 - t . 2 t - 1 d t + c

Beleza! Resolvemos as integrais dos expoentes e simplificamos tudo. Agora que fizemos isso vamos para o último passo (AMÉM)!

Passo 4

O último passo da nossa resolução consiste em, obviamente, resolver essa última integral que aparece aí para complicar nossa vida. A integral é:

∫ e t 2 - t . 2 t - 1 d t

Para resolve-la vamos utilizar uma substituição simples, ok? A substituição será:

u = t 2 - t

d u = 2 t - 1 d t

Substituindo:

∫ e u d u = e u

Voltando para a variável t :

∫ e t 2 - t . 2 t - 1 d t = e t 2 - t

Agora que resolvemos todas as integrais que aparecem no problema (EU SEI, É CANSATIVO), basta substituirmos os resultados na solução geral:

P = e - t 2 - t 2 ∫ e t 2 - t . 2 t - 1 d t + c

P = e - t 2 - t 2 e t 2 - t + c

∴ P = 2 + c e t - t 2

E está aí nosso resultado!

OBS: Note que omitimos a constante arbitrária c em todas as integrações que fizemos, mas isso só ocorre porque a constante já aparece na nossa solução geral, tudo bem? Se não aparecesse, precisaríamos colocar todas as constantes, mas ainda bem que não precisamos, não é? hahaha! 😉

Resposta

P = 2 + c e t - t 2

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